Question

16．有三个光滑斜面构成的斜面体静止在粗糙水平面上，斜面AB与水平方向成37°角，斜面AC与水平方向成53°角，斜面CD与水平方向成30°角，A点与C点的竖直高度为h₁=0.8m，C点与D点的竖直高度为h₂=3.25m．如图所示，质量均为m=1kg的物体甲和乙同时从顶点A由静止释放，之后甲沿斜面AB下滑，乙沿AC下滑．在甲乙两物体下滑过程中，斜面体始终处于静止状态，物体乙运动中经过C点时，速度大小不变，只改变方向，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，求：

（1）通过计算，说明甲乙两物体是否同时滑到水平面上？
（2）若以释放甲乙物体时作为t=0时刻，做出斜面体受到地面的摩擦力大小f随时间变化的图线（不要求写出作图依据，但要在图象中标明有关数据）．

Answer 1

分析 （1）对甲受力分析后，根据牛顿第二定律求出加速度，然后根据位移时间公式求出时间t₁；再对乙受力分析后求出加速度，再根据位移公式和速度时间公式求时间，最后比较是否同时．
（2）滑块在斜面上滑动过程，对斜面体受力分析，根据平衡条件求解静摩擦力大小情况

解答 解：（1）甲物体受重力、支持力，根据牛顿第二定律，有
mgsinθ=ma
得：a=gsinθ
$\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：$t=\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
所以，甲下滑时间为：$t=\frac{1}{sin37°}\sqrt{\frac{2（{h}_{1}+{h}_{2}）}{g}}=1.5s$
乙在AC上下滑时间为：${t}_{1}=\frac{1}{sin53°}\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}=0.5s$
乙到达C点时速度为：$mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得v=4m/s
乙由C到D的时间为t₂，则：$vt+\frac{1}{2}{at}_{2}^{2}=\frac{h}{sin30°}$
a=gsin30°
解得：t₂=1s
可见乙物体下滑总时间为：t′=t₁+t₂=1.5s
所以，两物体同时滑到水平面上．
（2）物体在光滑斜面上下滑时对斜面的压力产生的水平分量为：N_x=mgcosθsinθ
0-t₁时间内斜面体受到的摩擦力为：f=mgcos37°sin37°-mgcos53°sin53°=0
t₁-t₂时间内斜面体受到的摩擦力为：f=mgcos37°sin37°-mgcos30°sin30°
代入数据得：f=0.47N
图象：

答：（1）甲乙两物体同时滑到水平面上；（2）如图所示

点评 本题关键灵活地选择过程运用动能定理列式求解；对斜面上的运动可以运用牛顿第二定律和运动学公式联立求解