Question

2．如图所示，质量m_A=1kg的直杆A悬于离地面某一高度处，杆A上套有质量 m_B=1kg的小环B．将小环B从杆的最上端由静止释放并开始计时，环做加速度a₁=8m/s²的匀加速运动．经过时间t₁=0.5s后，将杆A上方的细线剪断，杆A开始下落，t₂=2s时杆A的下端第一次触地，此间环B始终未脱离杆A，不计空气阻力，已知重力加速度为g=10m/s²，求：
（1）杆A刚下落时的加速度a₂；
（2）杆A的最小长度L_min；
（3）2秒内，环B对杆A所做的功W及系统产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）细线剪断前，对小环B，利用牛顿第二定律求出A与B之间的摩擦力大小；再对A，运用牛顿第二定律求刚下落时的加速度a₂；
（2）设当A下落经过△t 时间时二者的速度相等，由速度公式求出时间和共同速度，之后二者相对静止．根据位移公式求解即可；
（3）从细线剪断开始，到两者共速环B对杆A才有做功，根据功的计算公式求环B对杆A所做的功W．
系统产生的热量等于二者之间的摩擦力与相对位移的乘积，先求出相对位移，再根据Q=fs即可求出．

解答 解：（1）细线剪断前，小环B，由牛顿第二定律可得：m_Bg-f=m_Ba₁
解得：f=2N
t₁=0.5s时，对杆A，由牛顿第二定律可得：m_Ag+f=m_Aa₂
得：a₂=12m/s²        
（2）细线剪断后，设经过△t 后两者共速为v_共．
对B，有 v_共=a₁（t₁+△t）
对A，有  v_共=a₂△t
可得：△t=1s；v_共=12m/s
因为（t₁+△t）＜t₂，说明已在A杆第一次触地前共速，共速后它们一起竖直下抛运动．
对环B：s_B=$\frac{1}{2}{a}_{1}（{t}_{1}+△t）^{2}$=$\frac{1}{2}×8×（0.5+1）^{2}$m=9m
对杆A：s_A=$\frac{1}{2}{a}_{2}△{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×12×{1}^{2}$=6m
杆的最小长度 L_min=s_B-s_A=3m
（3）从细线剪断始，到两者共速环B对杆A才有做功：W=f•s_B=2×6=12J
系统产生热量 Q=fL_min=2×3=6J
答：
（1）杆A刚下落时的加速度a₂是12m/s²．
（2）杆A的最小长度L_min是3m．
（3）2秒内，环B对杆A所做的功W是12J，系统产生的热量Q是6J．

点评 答本题关键是对环和杆受力分析，结合运动状态，根据牛顿第二定律求出各个过程的加速度，最后结合运动学公式列式求解．要注意摩擦生热与相对位移有关．