Question

如图，一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的直径大得多），在圆管中有一个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），小球的质量为m，设某一时刻小球通过轨道的最低点时对管壁的压力为5.5mg．此后小球便作圆周运动，求：
（1）小球在最低点时具有的动能；
（2）小球经过半个圆周到达最高点时具有的动能；
（3）在最高点时球对管内壁的作用力大小及方向；
（4）若管内壁粗糙，小球从最低点经过半个圆周恰能到达最高点，则小球此过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）对小球在最低点进行受力分析，由牛顿第二定律得：
F-mg=m

v2

R

所以小球在最低点时具有的动能是

9

4

mgR．
（2）根据动能定理研究从最低点到最高点得：
-mg?2R=

1

2

mv′²-

1

2

mv²
小球经过半个圆周到达最高点时具有的动能是

1

4

mgR
（3）对小球在最高点进行受力分析，由牛顿第二定律得：
mg+F′=m

v′2

R

F′=-

1

2

mg
所以在最高点时管壁对求的弹力向上，大小为

1

2

mg
根据牛顿第三定律得：在最高点时球对管内壁的作用力大小为

1

2

mg，方向为向下．
（4）小球从最低点经过半个圆周恰能到达最高点，说明小球在最高点的速度为0．
根据动能定理研究从最低点到最高点得：
-mg?2R+W=0-

1

2

mv²
W=-

1

4

mgR
所以小球此过程中克服摩擦力所做的功为

1

4

mgR．
答：（1）小球在最低点时具有的动能是

9

4

mgR；
（2）小球经过半个圆周到达最高点时具有的动能是

1

4

mgR；
（3）在最高点时球对管内壁的作用力大小为

1

2

mg，方向为向下．
（4）小球此过程中克服摩擦力所做的功是

1

4

mgR．