Question

4．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧某一位置有一竖直放置的、左上角有一开口的光滑圆弧轨道MNP，其半径为R=0.5m，∠PON=53°，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离是h=0.8m．如用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块恰停止在桌面边缘D点．现换用同种材料制成的质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块能飞离桌面并恰好由P点沿切线滑入光滑圆轨道MNP（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．

（1）求物体m₂运动到M点时受到轨道的压力；
（2）求弹簧的弹性势能E_P；
（3）如圆弧轨道的位置以及∠PON可任意调节，使从C点释放又从D点滑出的质量为m=km₁物块都能由P点沿切线滑入圆弧轨道，并且还能通过最高点M，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先据平抛运动求解D点的速度，再由功能关系和牛顿第二定律解物体m₂运动到M点时受到轨道的压力；
（2）根据功能关系求弹簧的弹性势能；
（3）由功能关系和牛顿第二定律相结合可求k的取值范围．

解答 解：（1）设物块块由D点以初速度v_D做平抛，落到P点时其竖直速度为：v_y=$\sqrt{2gh}$=4m/s                                   
由速度合成可得：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan53°，
代入数据解得：v_D=3m/s                  
若物块到达M点速度为v_M，则：v_P=$\sqrt{{v}_{D}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
由功能关系得：$\frac{1}{2}$m₂v_M²+mg•1.6R=$\frac{1}{2}$m₂v_P²
代入数据解得：v_M=3m/s             
轨道对物块的压力为F_N，则F_N+m₂g=m₂$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=1.6N    
（2）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，
释放m₁时，E_P=μm₁gS_CD                           
释放m₂时，E_P-μm₂gS_CD=$\frac{1}{2}$m₂v_D²
所以弹簧的弹性势能为：E_P=m₂v_D²                                          
（3）设质量为km₁的物块，到M点的最小速度为v，
由牛顿第二定律得：km₁g=km₁$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$
根据功能关系有：E_P-μkm₁gS_CD=$\frac{1}{2}$km₁v_D²，
又：v_D≥$\sqrt{gR}$                                                 
所以有：E_P（1-k）≥$\frac{1}{2}$km₁gR                                         
代入可得：1.8（1-k）≥k
解得：0＜k≤$\frac{9}{14}$．
答：（1）物体运动到M点时受到轨道的压力为1.6N；
（2）弹簧的弹性势能为m₂v_D²；
（3）k的取值范围为0＜k≤$\frac{9}{14}$．

点评 该题考查动能定理的应用，设计的过程比较多，此题注意分析运动过程，找清各物理量之间的关系，然后根据各运动过程运用所学知识解答即可．