Question

5．两端有固定挡板质量为m的长木板丙，静止在粗糙的水平面上，长木板的上表面光滑且长度为l=1.5m，与水平面之间的动摩擦因数为μ=0.3，可视为质点的质量分别为2m、m的滑块甲和乙放在长木板的上表面，其中滑块甲静止在长木板的正中央，如图所示，现给滑块乙一水平向右的初速度v₀=10m/s，滑块乙与右侧的挡板发生碰撞且粘合在一起，经过一段时间滑块甲与左侧的挡板发生无能量损失的碰撞，随后滑块甲在长木板右侧与滑块乙碰撞且粘合在一起，长木板向右运动一段距离后最终静止在水平面上，重力加速度取g=10m/s²，所有碰撞过程时间极短，求：
（1）滑块乙与挡板碰撞后瞬间的速度大小及碰后长木板的加速度大小；
（2）滑块甲与左侧的挡板碰后瞬间的速度大小；
（3）长木板在整个过程中发生的位移．

Answer 1

分析 （1）滑块乙与挡板碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律求乙与挡板碰撞后瞬间的速度．分析受力情况，由牛顿第二定律求碰后长木板的加速度大小；
（2）先根据运动学公式求得滑块甲与左侧的挡板碰撞前挡板的速度，再由动量守恒定律求滑块甲与左侧的挡板碰后瞬间的速度大小；
（3）甲乙碰撞后粘合在一起，由动量守恒定律求得碰后的共同速度．由运动学公式求出滑块乙与右侧挡板碰撞后至滑块甲与左侧挡板碰撞前长木板的位移．由牛顿第二定律和运动学公式结合求得甲、乙、丙一起向右运动的位移，从而求得长木板在整个过程中发生的位移．

解答 解：（1）滑块乙与挡板碰撞过程系统动量守恒，设碰后的速度大小为v₁．
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=2mv₁
解得：v₁=5m/s
对滑块乙与长木板，由牛顿第二定律得：μ（2m+m+m）g=（m+m）a
解得：a=2μg=6m/s²．
（2）设滑块甲与长木板左侧的挡板发生碰撞前的瞬间长木板的速度大小为v₂．
由匀变速直线运动的规律可得：${v}_{2}^{2}$-${v}_{1}^{2}$=2×（-a）×$\frac{1}{2}$l
解得 v₂=4m/s
设滑块甲与左侧的挡板碰后，长木板与滑块甲的速度大小分别为v₃、v₄，由动量守恒定律得：
 （m+m）v₂=（m+m）v₃+2mv₄
又由机械能守恒定律得 $\frac{1}{2}$（m+m）v₂²=$\frac{1}{2}$（m+m）v₃²+$\frac{1}{2}•$2mv₄²
解得 v₃=0，v₄=4m/s
（3）设滑块甲与滑块乙碰撞后瞬间的速度大小为v₅，由动量守恒定律得：
（m+m）v₃+2mv₄=（m+m+2m）v₅
解得：v₅=2m/s
甲、乙、丙一起向右运动的加速度大小 a′=μg=3m/s²
滑块乙与右侧挡板碰撞后至滑块甲与左侧挡板碰撞前长木板的位移 x₁=$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}-{4}^{2}}{2×6}$m=$\frac{3}{4}$m
甲、乙、丙一起向右运动的位移 x₂=$\frac{{v}_{5}^{2}}{2a′}$=$\frac{{2}^{2}}{2×3}$m=$\frac{2}{3}$m
则长木板在整个过程中发生的位移 x=x₁+x₂=$\frac{17}{12}$m      
答：（1）滑块乙与挡板碰撞后瞬间的速度大小为5m/s，碰后长木板的加速度大小是6m/s²；
（2）滑块甲与左侧的挡板碰后瞬间的速度大小是4m/s；
（3）长木板在整个过程中发生的位移是$\frac{17}{12}$m．

点评 本题属于力学综合题，考查牛顿运动定律、动量和能量的综合应用．关键要理清物体的运动过程，抓住碰撞的基本规律：动量守恒定律．对于位移，也可以根据动能定理求．