Question

一竖直固定光滑的半圆形轨道ACB，圆心为O，半径为R．在最高点A把小球以V₀=

1

2

gR

平抛，小球碰到轨道后不反弹（沿轨道径向速度减为0），忽略一切阻力，求：
（1）小球打到轨道上D点（图中未画出）时下落的高度；
（2）小球到达最低点B时速度和对轨道的压力．

Answer 1

分析：（1）小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，设小球打到轨道上D点，OD与竖直方向的夹角为θ，用R和θ表示平抛运动的水平分位移和竖直分位移，再根据平抛运动的规律列式求解；
（2）根据平抛运动的规律求得小球刚要到D点时水平速度和竖直速度．根据题意，小球碰到轨道后不反弹，沿轨道径向速度减为0，求出切向速度．再根据机械能守恒列式求出小球到达B点时的速度大小，由牛顿第二、第三定律求解小球对轨道的压力．

解答：解：（1）小球做平抛运动，设小球打到轨道上D点，D点可能在水平位置C的上方，也可能在C点的下方．
设OD与竖直方向的夹角为θ，则有
  v₀t=Rsinθ
 Rcosθ=R-

1

2

gt2
联立解得θ=

2

3

π，t=

3R g

则得h=

1

2

gt2=

3

2

R
（2）小球刚要到D点时水平速度为v_x=v₀=

1

2

gR

竖直速度为v_y=gt=

3gR

打到D点后，沿轨道径向速度减小为0，只保留切向的速度v_⊥=v_ysin60°-v_xcos60°=

5

4

gR

设小球在最低点B速度大小为v₁，从D点到最低点过程，由机械能守恒得
  mgR（1-cos60°）=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 ⊥

解得，v₁=

1

4

41gR

设小球在最低点受到轨道的支持力为N，则
  N-mg=m

v 2 1

R

所以N=

57

16

mg
根据牛顿第三定律得，小球对轨道的压力大小为N′=N=

57

16

mg
答：
（1）小球打到轨道上D点时下落的高度是

3

2

R；
（2）小球到达最低点B时速度为

1

4

41gR

，对轨道的压力是

57

16

mg．

点评：本题是机械能守恒、平抛运动、牛顿运动定律的综合应用，关键是根据数学知识得到平抛运动两个方向位移．