Question

如图甲所示，真空中的电极K连续不断地发出电子（电子的初速度可忽略不计），经电压为U_l的电场加速，加速电压U_l随时间t变化的图象如图乙所示．每个电子通过加速电场的过程时间极短，可认为加速电压不变．电子被加速后由小孔S从穿出，设每秒K向加速电场发射的电子数目恒定．出加速电场后，电子沿两个彼此靠近且正对的水平金属板A、B间中轴线射入偏转电场，A、B两板长均为L=0.20m，两板之间距离d=0.40m，A板的电势比B板的电势高．A，B板右側边缘到竖直放置的荧光屏P（面积足够大）之间的距离b=0.20m．荧光屏的中心点O与A、B板的中心轴线在同一水平直线上．不计电子之间的相互作用力及其所受的重力，求：
（l）要使电子都打不到荧光屏上，则A，B两板间所加电压U₂应满足什么条件；
（2）当A、B板间所加电U₂=200V时，打到荧光屏上的电子距离中心点O在多大的范围内；
（3）在A、B间加适当的电压，在较长时间内可以使从加速电场中出来的电子90%都能打在荧光屏上，则此情况下所有能打到屏上的电子的动能的最小值为多少．

Answer 1

分析：（1）电子做类平抛运动，根据动能定理与运动学公式，即可求解；
（2）电子做类平抛运动，根据侧移量，结合几何关系，可求出最大范围；由U₁越大y越小，根据运动学公式可求出最小范围，从而即可求解；
（3）由只要使10V-100V的加速电压下的电子都能打到屏上，就满足了电子都能打在荧光屏上条件．根据运动学公式，得出

U

′ 1

=20V时，打在屏上动能最小，从而即可求解．

解答：解：（1）设电子的质量为m，电量为e，电子通过加速电场后的速度为v₀，
由动能定理有：eU1=

1

2

m

v

2 0

电子通过偏转电场的时间t=

L

v0

此过程中电子的侧向位移y=

1

2

at2=

1

2

eU2

dm

(

L

v0

)2
解得：y=

U2L2

4dU1

要使电子都打不到屏上，应满足U₁取最大值100V时仍有y＞0.5d
代入数据可得，为使电子都打不到屏上，U₂至少为800V．
（2）当电子恰好从A板右边缘射出偏转电场时，
其侧移最大y_max=0.5d=0.2m电子飞出偏转电场时，
其速度的反向延长线通过偏转电场的中心，
设电子打在屏上距中心点的最大距离为，
则由几何关系可得，

Ymax

ymax

=

b+ L 2

L 2

解得Ymax=

b+ L 2

L 2

ymax=0.6m
由第（1）问中的y=

U2L2

4dU1

可知，在其它条件不变的情况下，U₁越大y越小，
所以当U₁=100V时，电子通过偏转电场的侧移量最小，
其最小侧移量，ymin=

U1L2

4dU1

=0.05m
同理，电子打在屏上距中心的最小距离Ymin=

b+ L 2

L 2

ymin=0.15m
所以电子打在屏上距中心点O在0.15m～0.6m范围内．
（3）使从加速电场中出来的电子都能打在荧光屏上，则必需使10%的电子落在极板上，对加速电压100V×10%可知，
只要使10V-100V的加速电压下的电子都能打到屏上，就满足了电子都能打在荧光屏上条件．
由y=

d

2

=

1

2

eU2

dm

(

L

v0

)2=

U2L2

4dU1

对U₁=10V时还能打到屏上，偏转电压应该U₂=80V
打到屏上电子的动能EK=e

U

′ 1

+e

U2

d

y
上式中U₂=80V，

U

′ 1

为10V-100V范围中的某一电压
y=

1

2

eU2

dm

(

L

v0

)2=

U2L2

4d U ′ 1

=

2

U ′ 1

EK=e

U

′ 1

+e

U2

d

y=e(

U

′ 1

+

400

U ′ 1

)
则当

U

′ 1

=

400

U ′ 1

时，即

U

′ 1

=20V时，打在屏上动能最小，最小E_K=40eV
答：（l）要使电子都打不到荧光屏上，则A，B两板间所加电压U₂应满足至少为800V条件；
（2）当A、B板间所加电U₂=200V时，打到荧光屏上的电子距离中心点O在0.15m～0.6m的范围内；
（3）在A、B间加适当的电压，在较长时间内可以使从加速电场中出来的电子90%都能打在荧光屏上，则此情况下所有能打到屏上的电子的动能的最小值为40eV．

点评：考查电子在电场中做类平抛运动，学会运动的分解，并根据运动学公式与牛顿第二定律及动能定理综合解题，强调电子在不同的电场中的运动与受力情况．