Question

10．如图所示，固定于水平桌面上足够长的两平行导轨PQ、MN，PQ、MN的电阻不计，间距为d=0.5m，P，M两端接有一只理想电压表，整个装置处于竖直向下的磁感应强度B=0.2T的匀强磁场中，电阻均为r=0.1Ω，质量分别为m₁=300g和m₂=500g的两金属棒L₁，L₂平行的搁在光滑导轨上，现固定棒L₁，让L₂在水平恒力F=0.8N的作用下，由静止开始做加速运动，试求：
（1）当电压表的读数为U=0.2V时，棒L₂的加速度多大？
（2）棒L₂能达到的最大速度v_m为多少？
（3）当棒L₂的速度为v，且离开棒L₁距离为S的同时，撤去恒力F，为保持棒L₂做匀速运动，可以采用将B从原值（B₀=0.2T）逐渐减小的方法，则磁感应强度B应怎样随时间变化（写出B与时间t的关系式）？
（4）若对棒L₂施加水平恒力F=0.8N让棒L₂由静止开始运动，同时释放棒L₁，当F作用距离s=20m时棒L₂的速度v₂=7m/s，且系统处于稳定状态，求此过程中系统产生的热量Q为多少？

Answer 1

分析 （1）结合电压表读数，由欧姆定律求出电路中电流，求出棒L₂所受安培力的大小，根据牛顿第二定律求解棒L₂的加速度．
（2）当安培力与恒力F平衡时，棒L₂速度达到最大，推导出安培力表达式，求解最大速度v_m．
（3）撤去恒力F，为保持棒L₂做匀速运动，棒L₂不受安培力，回路中不能产生感应电流，必须使穿过回路的磁通量不变，根据t时刻的磁通量与开始时磁通量相等，列方程求出B与时间t的关系．
（4）棒L₂在恒力作用下静止开始向右加速运动，同时释放棒L₁，棒L₁向右加速运动，两棒都产生感应电动势，棒L₂的电动势比棒L₁的大，且两个电动势方向相反，回路中总的感应电动势减小，感应电流减小．两棒的速度不断增大，棒L₂的加速度减小，棒L₁的加速度增大，当它们的加速度相等时达到稳定状态．先对整体，由牛顿第二定律求出加速度，再对棒L₁，由牛顿第二定律求出其速度，即可根据功能关系求解热量Q．

解答 解：（1）当电压表的读数为U=0.2V时，电路中电流为 I=$\frac{U}{r}$=$\frac{0.2}{0.1}$A=2A
棒L₂所受安培力为 F_安=BId=0.2×2×0.5N=0.2N
对棒L₂，根据牛顿第二定律得：F-F_安=ma
代入解得，a=1.2m/s²．
（2）当安培力F_安与恒力F平衡时，棒L₂速度达到最大，此时电路电流为Im，则
   F_安=BI_md，I=$\frac{Bd{v}_{m}}{2r}$
由平衡条件有：F_安=F
得到 v_m=$\frac{2Fr}{{B}^{2}{d}^{2}}$=16m/s．
（3）为保持棒L₂做匀速运动，必须使穿过回路的磁通量不变，设t时刻磁感应强度为B，则
    B₀dS=Bd（S+vt）
得到，B=$\frac{{B}_{0}S}{S+vt}$=$\frac{0.2S}{S+vt}$ T．
（4）当两棒的加速度相同时达到稳定状态，设共同加速度为a，棒L₂的速度v₂=7m/s，棒L₁的速度为v₁．
对整体，由牛顿第二定律得：a=$\frac{F}{{m}_{1}+{m}_{2}}$=$\frac{0.8}{0.3+0.5}$=1m/s²．
对棒L₁，由牛顿第二定律得：Bd$\frac{Bd（{v}_{2}-{v}_{1}）}{2r}$=m₁a．
解得 v₁=1m/s
由功能关系得：系统产生的热量 Q=Fs-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$=0.8×20-$\frac{1}{2}$×0.3×1²-$\frac{1}{2}$×0.5×7²=3.6J
答：
（1）当电压表的读数为U=0.2V时，棒L₂的加速度是1.2m/s²．
（2）棒L₂能达到的最大速度v_m是16m/s．
（3）磁感应强度B随时间变化的关系式为B=$\frac{0.2S}{S+vt}$ T．
（4）此过程中系统产生的热量Q为3.6J．

点评 本题关键明确：①固定L₁，要使棒L₂保持匀速运动，必须使回路中的磁通量保持不变．②两棒都运动时，加速度相同时达到稳定状态．此时回路中总感应电动势E=Bd△v，△v是两棒的速度差．