Question

19．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力．图甲表示小滑块（可视为质点）沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面内A、A′点之间来回滑动．A、A′点与O点连线与竖直方向之间夹角相等且都为θ，均小于10°，图乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t=0为滑块从A点开始运动的时刻，g=10m/s²．试根据力学规律和题图中所给的信息，求：

（1）容器的半径；
（2）小滑块的质量及滑块运动过程中的最大动能．

Answer 1

分析 （1）滑块在最高点，对器壁的压力最小，为F_min=mgcosθ，在最低点速度最大，沿半径方向上的合力提供向心力，
此时压力最大，最高点到最低点，机械能守恒，求出滑块的质量．
（2）θ很小，小滑块在AA′之间做简谐运动（单摆运动），根据图乙得出单摆的周期，再根据周期公式求出容器的半径．

解答 解：（1）完成一次全振动的时间为一个周期，由图乙得小滑块做简谐振动的周期：T=0.2π
根据T=$2π\sqrt{\frac{R}{g}}$解得：R=0.1m
（2）在最高点A，有F_min=mgcosθ=0.495N
在最低点B，有Fmax=m$\frac{{V}^{2}}{R}$+mg=0.510N
从A到B，滑块机械能守恒，有mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mV²．
解得：m=0.05kg．
根据Fmax=m$\frac{{V}^{2}}{R}$+mg=0.510N
在B点的动能最大：E_Kmax=5×10^-4J
答：（1）容器的半径0.1m；
（2）小滑块的质量0.05kg及滑块运动过程中的最大动能5×10^-4J．

点评 解决本题的关键知道滑块所做的运动是单摆运动，知道单摆运动的周期公式，以及知道在什么位置压力最大，什么位置压力最小，运用机械能守恒进行求解．