Question

15．如图所示，AB为进入弯道前的一段平直公路，其长度x_AB=218m，BC为水平圆弧形弯道．摩托车在直道上行驶的最大速度v₁=40m/s，为确保弯道行车安全，摩托车进入弯道前必须减速，到达B点进入弯道时速度v₂不能超过20m/s，要求摩托车由静止开始在最短的时间内走完AB这段直道，已知摩托车启动时最大加速度a₁=4m/s²，制动时最大加速度a₂=8m/s²．试根据上述数据求摩托车在直道上行驶所用的最短时间．

Answer 1

分析 要使在直道上所用时间最短就要使摩托车在直道上的平均速度最大，同时又要进入弯道时摩托车的速度不超过v₂．考虑到直道长度对解题的限制，假设摩托车在直道上行驶能达到最大速度v₁，通过计算：若摩托车从静止加速达到v₁=40 m/s，此阶段位移x=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$=200 m，
然后从v₁匀减速至v₂，此阶段位移：x′=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=75 m
x+x′=275 m＞218 m，故摩托车不可能加速到v₁，只可能是加速到某一速度v₃（v₃＜v₁）然后再匀减速至v₂进入半圆形弯道．

解答 解：摩托车加速到某一速度v₃然后再匀减速至v₂进入半圆形弯道，
设摩托车在直道上加速t₁位移为x₁，减速t₂位移为x₂ ：由运动学公式：x₁=$\frac{{v}_{3}^{2}}{2{a}_{1}}$　①
x₂=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{3}^{2}}{2{a}_{2}}$　②
x₁+x₂=x，③
代入数据①②③联立得：
v₃=36 m/s，
t₁=$\frac{{v}_{3}}{{a}_{1}}$=9 s，
t₂=$\frac{{v}_{2}-{v}_{3}}{{a}_{2}}$=2 s，
t=t₁+t₂=11 s
故摩托车在直道上行驶所用的最短时间为11s
答：摩托车在直道上行驶所用的最短时间为11s

点评 本题考查了运动学中最值问题，必须在充分理解题目所给条件、弄清运动的物理过程后，经过辨析才能正确解答
车在公路上的运动一般分为两种可能情况：①先匀加速到最大速度，然后匀速，最后匀减速；②先匀加速后匀减速，中间没有匀速．