Question

20．如图所示，光滑水平面上静止放置着一辆平板车A，．车上有两个小滑块B和C（都可视为质点），B与车板之间的动摩擦因数为μ，而C与车板之间的动摩擦因数为2μ．开始时B、C分别从车板的左、右两端同时以大小相同的初速度v_o相向滑行．经过一段时间，C、A的速度达到相等，此时C和B恰好发生碰撞．已知C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，A、B、C三者的质量都相等，重力加速度为g．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力．
（1）求开始运动到C、A的速度达到相等时的时间；
（2）求平板车平板总长度；
（3）已知滑块C最后没有脱离平板，求滑块C最后与车达到相对静止时处于平板上的位置．

Answer 1

分析 （1）根据动量定理分别对C、A研究，求出开始运动到C、A的速度达到相等时的时间．
（2）由动量定理求出C和B发生碰撞时B的速度，用平均速度分别求出从开始到C、B碰撞的过程C、B的位移大小，两者之和等于平板车平板总长度；
（3）C和B发生碰撞时两者交换速度．根据牛顿第二定律运动整体法和隔离法判断是否相对静止．再根据动能定理分别研究C、A的位移，由几何关系求出滑块C在车板上运动的总位移，确定C最后与车达到相对静止时处于平板上的位置．

解答 解：（1）设A、B、C三个物体的质量都为m，从开始到C、A的速度达到相等的过程所用时间为t，C、A相等的速度为v_C，根据动量定理得
 对C：-2μmgt=mv_C-mv₀
 对A：（2μmg-μmg）t=mv_C
联立解得，t=$\frac{{v}_{0}}{3μg}$，v_C=$\frac{1}{3}$v₀，
（2）对B，由动量定理得，
-μmgt=mv_B-mv₀，解得：v_B=$\frac{2}{3}$v₀，
对C：x_C=$\frac{{v}_{0}+{v}_{C}}{2}$t，
对B：x_B=$\frac{{v}_{0}+{v}_{B}}{2}$t，
平板车平板总长度L=x_B+x_C
解得：L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（3）对A：x_A=$\frac{{v}_{A}}{2}$t=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，A、B、C三者的位移和末速度分别为：
x_A=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，方向向左；x_B=$\frac{5{v}_{0}^{2}}{18μg}$，方向向右；x_C=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{9μg}$，方向向左．
v_A=v_C=$\frac{1}{3}$v₀，方向向左；v_B=$\frac{2}{3}$v₀，方向向右．C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，
则碰撞后C和B的速度各为：v_C′=$\frac{2}{3}$v₀，方向向右，v_B′=$\frac{1}{3}$v₀，方向向左．
碰撞后B和A的速度相等，设B和A保持相对静止一起运动，此时对B和A整体有f_C=2μmg=2ma
对B：B受到的摩擦力为f_B′=ma=μmg，说明B和A保持相对静止一起运动．
设C最后停在车板上时，共同速度为v，以C的初速度放为正方向，
由动量守恒定律得：mv_C′-2mv_B′=2mv，解得：v=0，
对这一过程，对C，由动能定理得：-2μmgS_C′=0-$\frac{1}{2}$mv_C′²，
对B和A整体，由动能定理得
-2μmgS_A′=0-$\frac{1}{2}$•2mv_B′²
解得，C和A的位移分别是
  S_C′=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{9μg}$，向右，S_A′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，向左．
则C先相对于车板向左移动x₁=x_C-x_A=$\frac{{v}_{0}^{2}}{6μg}$，后相对于车板向右移动S=S_C′-S_A′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{6μg}$，恰好回到原来的位置，即滑块C最后停在车板的右端．
答：（1）开始运动到C、A的速度达到相等时的时间为$\frac{{v}_{0}}{3μg}$；
（2）平板车平板总长度L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（3）滑块C最后停在车板的右端．

点评 本题是动量定理、动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律等力学知识的综合应用，要会选择解题规律：涉及力在时间的累积效果可选用动量定理研究．涉及力在空间的累积效果可选用动能定理研究．