Question

5．2006年6月，美国NASA向太空发射了“新视野号“，在经历九年的漫长旅程之后，于7月14日的美国时间上午7：49经过距离莫王星最近的点，该点距离具王星表面高h=1.248×10⁷m．“新视野号”以13.78km/s掠过．已知冥王星直径R=2.3×10⁶m（小于月球的）、质量M_冥=1.29×10²²kg，与太阳平均距离r_冥=5.9×10¹²m、而地球与太阳的平均距离r_地=1.5×10¹¹m，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²
（1）求冥王星的公转周期为多少地球年．（结果可保留根式）
（2）若要使“新视野号”到达最近点后能环绕冥王星做圆周运动．其速度需立即减为多少？（结果可保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）冥王星和地球均围绕太阳运动，根据开普勒第三定律可求出冥王星的公转周期
（2）在最近的地点围绕冥王星做圆周运动，根据万有引力提供向心力列式求解

解答 解：（1）根据开普勒第三定律$\frac{{r}_{冥}^{3}}{{T}_{冥}^{2}}=\frac{{r}_{地}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$
${T}_{冥}^{\;}=\sqrt{\frac{{r}_{冥}^{3}}{{r}_{地}^{3}}}{T}_{地}^{\;}$=$\sqrt{（\frac{5.9×1{0}_{\;}^{12}}{1.5×1{0}_{\;}^{11}}）_{\;}^{3}}{T}_{地}^{\;}$=248年
（2）根据万有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$\sqrt{\frac{6.67×1{0}_{\;}^{-11}×1.29×1{0}_{\;}^{22}}{\frac{2.3×1{0}_{\;}^{6}}{2}+1.248×1{0}_{\;}^{7}}}$=2.5×$1{0}_{\;}^{2}m/s$
答：（1）求冥王星的公转周期为248地球年
（2）若要使“新视野号”到达最近点后能环绕冥王星做圆周运动．其速度需立即减为$2.5×1{0}_{\;}^{2}$m/s

点评 本题关键是开普勒第三定律的应用，卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力及其相关知识解答．