Question

8．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，已知ON=d，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y=$\frac{d}{4}$处的M点，以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上x=$\frac{d}{2}$处的P点进入磁场，刚好从半圆形区域的最下端射出磁场，不计粒子重力，求：
（1）电场强度的大小E；
（2）磁场的磁感应强度的大小B；
（3）保持其他条件不变，假设磁感应强度可调，当B为多大时，粒子以速度方向垂直于y轴地回到y轴（结果用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，应用牛顿第二定律与类平抛运动分位移公式结合，可求出电场强度的大小E；
（2）作出粒子运动轨迹，由几何知识求出粒子轨道半径，由牛顿第二定律求出磁感应强度的大小B；
（3）再作出粒子运动轨迹，由几何知识求出粒子轨道半径，由牛顿第二定律求出磁感应强度的大小．

解答 解：（1）在电场中粒子做类平抛运动，则有
  y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ①
  x=v₀t  ②
加速度 a=$\frac{qE}{m}$ ③
据题y=$\frac{d}{4}$、x=$\frac{d}{2}$，联立得 E=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qd}$
（2）设粒子进入磁场时速度与水平方向的夹角为θ，竖直分速度大小为v_y．速度大小为v．
则
  y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$ ④
由②④得 v_y=v₀，v=$\sqrt{2}{v}_{0}$ 
则有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，θ=45°
画出粒子的运动轨迹如右图1所示．设粒子圆周运动的半径为r，由几何知识有
  $\sqrt{2}$r=d ⑤
又 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，⑥
解得 B=$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．
（3）粒子的运动轨迹如右2图所示．
设粒子的运动轨迹半径为R，由几何关系有：∠O′PQ=∠O′QP=22.5°
则有 PQ=2Rcos22.5°
又 PQ=d
则得 R=$\frac{d}{2cos22.5°}$=$\frac{d}{2\sqrt{\frac{1+cos45°}{2}}}$=$\frac{d}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$
由R=$\frac{mv}{qB′}$得 B′=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}m{v}_{0}}{qd}$
答：
（1）电场强度的大小E是$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（2）磁场的磁感应强度的大小B是$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．
（3）保持其他条件不变，假设磁感应强度可调，当B为$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}m{v}_{0}}{qd}$时，粒子以速度方向垂直于y轴地回到y轴．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．