Question

1．据报道，美国国家航空航天局（NASA）首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f．若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h自由释放一个小球（引力视为恒力），落地时间为t已知该行星半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 该行星的第一宇宙速度为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
• B． 该行星的平均密度为$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$
• C． 如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为$\root{3}{\frac{k{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$
• D． 宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期大于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$

Answer 1

分析 根据自由落体运动的位移时间公式求出行星表面的重力加速度，结合重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度；根据万有引力等于重力求出行星的质量，结合密度公式求出行星的平均密度；根据万有引力提供向心力，求出行星同步卫星的轨道半径，从而得出卫星距离行星的高度．根据重力提供向心力求出宇宙飞船的最小周期．

解答 解：A、根据h=$\frac{1}{2}$gt²得，行星表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，行星的第一宇宙速度v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故A正确；
B、根据mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$得，行星的质量M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，则行星的平均密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{2}}$=$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$，故B正确；
C、根据G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故C错误；
D、根据mg=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R得，最小周期T=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故D正确；
故选：ABD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．