Question

如图，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的轨道MNP，其形状为半径R=1.0m的圆环剪去了左上角120°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离是h=2.4m．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀变速运动其位移与时间的关系为s=6t-2t²，物块飞离桌面后恰好由P点沿切线落入圆轨道．（不计空气阻力，g取10m/s²，sin60°=

3

2

，cos60°=

1

2

）

求：（1）物块m₂过B点时的瞬时速度v_B及与桌面间的滑动摩擦因数μ．
（2）若轨道MNP光滑，小球经过轨道最低点N时对轨道的压力F_N．
（3）若小球刚好能到达轨道最高点M，则释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功W．

Answer 1

（1）m₂过B点后遵从：s=6t-2t²，
由此可知，v_B=6m/s，a=-4m/s²．
由牛顿第二定律得：μmg=ma，解得：μ=0.4；
（2）小球离开桌面后做平抛运动，
在竖直方向上：h=

v 2y

2g

=2.4m，
P点速度在竖直方向的分量：
v_y=v_Dtan60°=4

3

m/s，
解得离开D点的速度为v_D=4m/s，
由机械能守恒定律得：

1

2

mv_N²=

1

2

mv_D²+mg（h+R-Rcosθ），
解得：v_N²=74m²/s²，
在N点，由牛顿第二定律得：
F_N′-mg=m

v 2N

R

，解得：F_N′=42N，
由牛顿第三定律得，压力：F=F'=42N，方向竖直向下．
（3）小球刚好能到达M点，
由牛顿第二定律得：mg=m

v 2M

R

，
小球到达P点的速度v_P=

v 20 + v 2y

=8m/s．
从P到M点，由动能定理得：
-mgR（1+cosθ）-W_PM=

1

2

mv_M²+-

1

2

mv_P²，解得：W_PM=2.4J；
从B到D点，由动能定理得：-W_BD=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_B²，解得：W_BD=2J；
从C到B点，由动能定理得：E_P=μm₁gx_CB，E_P=μm₂gx_CB+

1

2

m₂v_B²，
解得：3μm₂gx_CB=

1

2

m₂v_B²，W_CB=3μm₂gx_CB=1.2J，
则释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功为：
W=W_CB+W_BD+W_PM=1.2J+2J+2.4J=5.6J；
答：（1）物块m₂过B点时的瞬时速度v_B为6m/s，与桌面间的滑动摩擦因数为0.4．
（2）若轨道MNP光滑，小球经过轨道最低点N时对轨道的压力为42N方向竖直向下．
（3）若小球刚好能到达轨道最高点M，则释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功为5.6J．