Question

20．如图所示，da、cb为相距l=0.4m的平行导轨，电阻不计，a、b间接一个固定电阻R=3Ω．长直细金属杆MN斜架在平行导轨上，与da成θ=37⁰角，以速度v=6m/s垂直于MN向右匀速滑行，杆单位长度电阻值为r=3Ω．整个空间充满匀强磁场，磁感应强度的大小为B=0.3T，方向垂直纸面（dabc平面）向里．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）电阻R上电流的方向
（2）MN两点的电势差
（3）如果θ是一个变量的，电阻R上有最大功率．某同学解答到最后的结果如下：
P=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}^{2}}{R}$$\frac{1}{（sinθ+l）^{2}}$，他认为当sinθ=0时功率最大．
你认为他的求解方法正确吗？如果不正确，请求出正确的值．

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断出MN产生的感应电流方向，即可得到电阻R上电流的方向．
（2）MN间的电势差即为R两端的电压，先求出感应电动势，再由欧姆定律和电压分配关系求解．
（3）根据上题的表达式，当MN的有效电阻等于R时R上有最大功率，并判断该同学的解法是否正确．

解答 解：（1）由右手定则判断知，MN产生的感应电流方向由N→M，则电阻R上的电流方向a→b．
（2）MN产生的感应电动势为：E=B$\frac{l}{sinθ}$v
总电阻为：R_总=R+$\frac{l}{sinθ}$r
回路中电流为：I=$\frac{E}{{R}_{总}}$=$\frac{Blv}{Rsinθ+lr}$=0.24（A）
MN两点的电势差：U_MN=IR=0.72V
（3）他的解法不正确．
电阻R上的功率最大，有 $\frac{l}{sinθ}$r=R，即得 sinθ=0.4时，R的功率最大．
最大功率为：P=I²R=$\frac{{B}^{2}{v}^{2}}{4R}$=0.27（W）
答：
（1）电阻R上的电流方向a→b．
（2）MN两点的电势差是0.72V．
（3）他的解法不正确．R的最大功率为0.27W．

点评 解决本题的关键要明确MN的有效切割长度等于杆两轨道之间的长度，掌握电源的输出功率取得最大的条件：电源的内外电阻相等．