Question

A、B两颗人造卫星绕地球做圆周运动，它们的圆轨道在同一平面内，周期之比是

T1

T2

=

3 3

2 2

．若两颗卫星的最近距离等于地球半径R，已知在地面附近绕地球做圆周运动的卫星周期为T₀．求：
（1）这两颗卫星的周期各是多少？
（2）从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过多少时间？

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力，结合两卫星的轨道关系，以及周期关系求出两颗卫星的周期．
（2）结合两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远转过的角度之差等于π求出最短的时间．

解答：解：（1）设地球的质量为M，绕地球表面运动的卫星的质量为m′G

Mm′

R2

=m′

4π2

T 2 0

R①
设两个卫星中，离地球较近的质量为m₁，离地球的距离为r₁．较远的质量为

m

2

，离地球的距离为r₂
G

Mm1

r 2 1

=m1

4π2

T 2 1

r1②
G

Mm2

r 2 2

=m2

4π2

T 2 2

r2③
r₂=r₁+R④

T1

T2

=

3 3

2 2

⑤
解得T1=3

3

T0，T2=2

2

T0
（2）当两者相距最远时，最少的时间应该满足下式：

2π

T1

t-

2π

T2

t=π
t=

3 6

3 3 -2 2

T0
答：（1）这两颗卫星的周期各是T1=3

3

T0，T2=2

2

T0．
（2）从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过t=

3 6

3 3 -2 2

T0

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，知道周期与轨道半径的关系．以及知道两颗卫星从相距最近到相距最远所转过的角度之差等于π的奇数倍．