Question

15．如图所示，在xOy坐标平面内，直线MN为区域足够大的匀强电场和匀强磁场的分界线，MN的右上方分布着垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，MN的左下方分布着沿y轴负方向的匀强电场，MN过原点O且与x轴成θ=45°．从O点分别沿x轴、y轴正方向同时发射一正、负电子，初速度大小分别为v、2v．已知正、负电子的质量均为m，电量分别为+e和-e，忽略正、负电子之间的作用力及重力，求：
（1）正电子在磁场中的运动半径；
（2）正、负电子第一次回到边界MN的位置间的距离；
（3）为使正、负电子能在电场内相遇所需的电场强度的大小．

Answer 1

分析 （1）正负电子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力，由牛顿第二定律可得出正电子的运动半径．
（2）由牛顿第二定律可得负电子的运动半径，再由几何关系可得出正、负电子第一次回到边界MN的位置间的距离．
（3）正电子进入磁场后沿电场线做匀加速直线运动，负电子进入电场后做类平抛运动，根据相遇时的位移关系，由位移公式和牛顿第二定律列式求解电场强度的大小．

解答 解：（1）设正电子在磁场中运动的半径为r₁，则由牛顿第二定律得：
  eBv=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$     ①
得r₁=$\frac{mv}{eB}$       ②
（2）同理，负电子的运动半径为：r₂=$\frac{2mv}{eB}$     ③
由几何关系可以得到正、负电子第一次回到MN时的位置P、Q的距离为：
  S_PQ=2$\sqrt{2}$（r₁+r₂）④
由②③④式得：S_PQ=$\frac{3\sqrt{2}mv}{eB}$         ⑤
（3）正、负电子同时进入匀强电场，设经过时间t相遇，则
根据牛顿第二定律得：eE=ma，正负电子的加速度为 a=$\frac{eE}{m}$  ⑥
根据位移关系可得 （vt+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$）+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=2vt  ⑦
又 $\frac{{S}_{PQ}}{\sqrt{2}}$=2vt    ⑧
由⑥⑦⑧得：E=$\frac{2}{3}$Bv      ⑨
答：
（1）正电子在磁场中的运动半径是$\frac{mv}{eB}$；
（2）正、负电子第一次回到边界MN的位置间的距离是$\frac{3\sqrt{2}mv}{eB}$；
（3）为使正、负电子能在电场内相遇所需的电场强度的大小是$\frac{2}{3}$Bv．

点评 能根据带电粒子在磁场中的运动轨迹作出电子运动轨迹，并由几何关系求得电子在电场中位移关系是关键．