Question

如图甲所示，A、B是真空中的两块面积很大的平行金属板，相距为L，加上周期为了的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．已知B板的电势为零，A板的电势U_A随时间变化的规律如图乙所示，其中U_A最大值为U₀，最小值为-2U₀．在靠近B板的P点处，不断地产生电量为q、质量为m的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等，这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动，设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压．已知上述的T、U₀、L、g和m等各量正好满足等式L²=3U₀q（T/2）²/16m，若在交流电压变化的每个周期T内，平均产生400个上述微粒．求（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）：
（1）从t=0开始运动的微粒到达A板所用的时间．
（2）在t=0到t_c=T/2这段时间内产生的微粒中，有多少个微粒可到达A板．

Answer 1

分析：（1）粒子在电场中在电场力的作用下线加速，根据粒子的运动的距离求运动的时间．
（2）粒子先加速运动再减速运动，到达A板时速度恰好见为零，此时是恰好还能到达A的粒子，在此之前的粒子都可以到达A板．

解答：解：（1）当电压为U₀时，粒子的加速度为：a₁=

U0q

lm

，
当电压为-2U₀时，粒子的加速度为：a₂=-

2U0q

lm

=-2a₁…①
用a₁=

U0q

lm

代入已知式L²=3U₀q

1

16m

（

T

2

）²，
解得：l=3a₁

1

16m

（

T

2

）²…②
在t=0时刻加速运动的粒子，经

1

2

T时间的位移为：
L=

1

2

a₁（

1

2

T）²＞l…③
说明从静止开始运动的微粒到达A板的时间小于

1

2

T，
所以，从t=0开始运动的微粒到达A板时一直处于加速状态，且加速度为a₁，到达A板的时间为：
t=

2 a1

=

2ml2 U0q

．
（2）设在0～

1

2

T时间内，在t=t₁时刻开始运动的粒子经△t₁时间在电压为U₀加速，然后在电压为-2U₀减速一段时间到达A板，
设加速阶段位移为d₁，减速阶段运动位移为d₂，则
l=d₁-d₂…④
d₁=

1

2

a₁（△t₁）² …⑤
d₂=（0-υ₁²）

1

2a2

=（0-（a₁△t₁）²）

1

2a2

…⑥
联立①②④⑤⑥解得△t₁=

1

4

T                                                
t₁=

1

2

T-△t₁=

1

4

T                                          
即从0～

1

4

T时间内产生的粒子均可到达A板，设0～

1

2

T时间内产生的粒子有n个粒子到达A板，则n=

400

T

×

T

4

=100（个）．
答：（1）从t=0开始运动的微粒到达A板所用的时间为

2ml2 U0q

．
（2）在t=0到t_c=

1

2

T这段时间内产生的微粒中，有100个微粒可到达A板．

点评：本题中粒子的运动的过程比较复杂，粒子在电场中先加速运动再减速运动，到达A板时速度恰好见为零，此时是恰好还能到达A的粒子．