Question

1．如图所示，A、B是水平传送带的两个端点，起初以v₀=1m/s的速度顺时针运转．今将一质量为1kg的小物块（可视为质点）无初速度地轻放在A处，同时传送带以a₀=1m/s²的加速度加速运转，物体和传送带间的动摩擦因素为0.2，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道CPN，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135⁰的圆弧，PN为其竖直直径，C点与B点的竖直距离为R，物体在B点水平离开传送带后由C点恰好无碰撞落入轨道．取g=10m/s²，求：
（1）物块由A端运动到B端所经历的时间．
（2）AC间的水平距离
（3）小物块在P点对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）根据物块的传送带的相对运动得到物块的摩擦力，进而求得加速度，然后由匀变速运动规律根据位移求得在AB上的运动时间，即AB的距离；
（2）然后根据平抛运动规律由竖直高度求得运动时间，即可求得BC的水平位移，那么AC的水平距离即可求解；
（3）根据机械能守恒求得在P点的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）物体从B点到C作平抛运动，C点与B点的竖直距离为R，故有${v}_{Cy}=\sqrt{2gR}=4m/s$；
物体离开传送带后由C点无碰撞落入轨道，则在C点物体的速度方向为C点的切线方向，与竖直方向成45°，故有v_B=v_Cx=4m/s；
物体速度小于传送带速度时，物体做加速度$a=\frac{μmg}{m}=2m/{s}^{2}$，
故物体从A到B做匀加速运动，设运动t₁后物体和传送带速度相同，之后两者一起做匀加速运动，那么t₁=1s，物体的速度达到v=2m/s，之后加速度变为1m/s²，故物体之后运动t₂=2s后速度达到4m/s，此时，物体正好到达B点，故物块由A端运动到B端所经历的时间t=t₁+t₂=3s；
（2）由匀变速运动规律可知AB的长度${L}_{AB}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}+v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{0}{{t}_{2}}^{2}=7m$；
物体做平抛运动的时间$t′=\frac{{v}_{Cy}}{g}=0.4s$，那么，BC的水平距离x=v_Bt′=1.6m；
所以，AC间的水平距离L_AC=L_AB+x=8.6m；
（3）物块在C点的速度${v}_{C}=\frac{{v}_{Cy}}{sin45°}=4\sqrt{2}m/s$；
物块从C到P只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+mgR（1-cos45°）$，所以，${v}_{P}=\sqrt{{{v}_{C}}^{2}+2gR（1-cos45°）}=\sqrt{48-8\sqrt{2}}m/s$；
对物块在P点应用牛顿第二定律可得：轨道对小球的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{P}}^{2}}{R}=70-10\sqrt{2}（N）$，方向竖直向上；
那么，由牛顿第三定律可得：小物块在P点对轨道的压力为$70-10\sqrt{2}（N）$，方向竖直向下；
答：（1）物块由A端运动到B端所经历的时间为3s；
（2）AC间的水平距离为8.6m；
（3）小物块在P点对轨道的压力为$70-10\sqrt{2}（N）$，方向竖直向下．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．