Question

13．质量为m、电荷量为q的带正电小球，在O点以速率v₀沿水平方向成θ射出，如图所示，设小球在运动过程中所受空气阻力恒为其重力的k倍（k＜sinθ）
（1）若在空间加一合适的匀强电场，能保证小球沿v₀方向做直线运动，求所加电场的场强最小值及此电场的方向；
（2）在满足第（1）问条件下，此小球再次回到O点的速率为多大？

Answer 1

分析 （1）当合力的方向与速度的方向在同一条直线上时，粒子做直线运动，抓住电场力和重力的合力与速度方向在同一条直线上，根据平行四边形定则求出电场力的最小值，从而确定电场强度的最小值和方向．
（2）根据牛顿第二定律求出加速度的大小，通过速度位移公式求出粒子减速运动的位移，根据运动学计算公式求出粒子回到O点的速度．

解答 解：（1）经分析可知，当电场与v₀垂直且斜向上时，场强最小，有qE_min=mgcosθ，即E_min=$\frac{mgcosθ}{q}$；
电场方向垂直于速度方向向上；

图1：电场力最小情况              图2：上升过程受力                        图3：下降过程受力
（2）在平行于v₀方向有：
上升过程：f+mgsinθ=ma₁，其中f=kmg；
上升最远距离：s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$
下降过程：mgsinθ-f=ma₂，
设回到O点速率为v，则有v²=2a₂s
由以上几式解得v=$\sqrt{\frac{sinθ-k}{sinθ+k}}{v}_{0}$．
答：（1）若在空间加一合适的匀强电场，能保证小球沿v₀方向做直线运动，所加电场的场强最小值为$\frac{mgcosθ}{q}$，此电场的方向垂直于速度方向向上；
（2）在满足第（1）问条件下，此小球再次回到O点的速率为$\sqrt{\frac{sinθ-k}{sinθ+k}}{v}_{0}$．

点评 有关带电粒子在匀强电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度和位移等；其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理进行解答．