Question

11．假设某伞兵做跳伞训练，他从悬停在空中的直升机上由静止跳下，跳离直升机一段时间后打开降落伞做减速下落．若他离地面约为100m时迅速打开降落伞，他打开降落伞后的速度图线如图甲所示，降落伞用8根对称的绳悬挂运动员，每根绳与中轴线的夹角均为37°，如图乙所示．已知人的质量为60kg，降落伞质量为10kg，不计打开降落伞前伞兵下落所受的阻力，打开伞后降落伞所受阻力F_f与速度v成正比，即F_f=kv，k为阻力系数，求（取g=10m/s²）：
（1）打开降落伞瞬间伞兵的加速度a；
（2）为安全起见，每根悬绳至少应能承受多大的拉力；
（3）伞兵打开降落伞到落地的时间．

Answer 1

分析 （1）根据人和降落伞一起做匀速运动时，结合此时的速度，根据共点力平衡求出阻力系数．对整体分析，根据牛顿第二定律求出打开伞瞬间的加速度a的大小和方向；
（2）当加速度最大时，绳子的拉力最大，根据牛顿第二定律求出拉力．
（3）伞兵开始时做减速运动，加速度不断变化，向右使用积分的方法求出位移，也可以将减速运动分成时间非常短的小段，然后依次求出，最后进行求和即可求出．

解答 解：（1）当人和降落伞的速度v=5m/s时做匀速运动，则：
kv=（M+m）g，
解得：k=140N•s/m   
对整体，根据牛顿第二定律得：kv₀-（M+m）g=（M+m）a，
代入数据解得：a=30m/s²，方向竖直向上
（2）设每根绳拉力为T，以运动员为研究对象有：
8Tcos30°-（M+m）g=（M+m）a，
T=$\frac{500\sqrt{3}}{3}$N≈375N
由牛顿第三定律得：悬绳能承受的拉力至少为375N．
（3）将下落过程分成无数个小段，每小段内△t→0内，系统下落可视为匀变速运动（以向上为正方向），
有ΣF=（M+m）a可得：$k\overline{{v}_{1}}-（M_m）g=（M+m）•\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{△t}$；
$k\overline{{v}_{2}}-（{M}_{m}）g=（M+m）•\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{△t}$
…
$k\overline{{v}_{n}}-（{M}_{m}）g=（M+m）•\frac{{v}_{n}-{v}_{n-1}}{△t}$
将上列式子两边求和：$∑k\overline{{v}_{i}}•△t-（{M}_{m}）g△t=（M+m）•（{v}_{t}-{v}_{0}）$
联立得：kH-（m+M）gt=（m+M）（v_t-v_0）
由题：v_t=-5m/s；v₀=-20m/s
解得：t=$\frac{gH-{v}_{t}（{v}_{t}-{v}_{0}）}{{v}_{t}g}$=$\frac{10×100-5×（5-20）}{5×10}$=18.5s
答：（1）打开降落伞瞬间伞兵的加速度是-30m/s²，方向竖直向上；
（2）为安全起见，每根悬绳至少应能承受375N的拉力；
（3）伞兵打开降落伞到落地的时间是18.5s．

点评 本题考查了学生的读图能力，通过图线能够得出人和降落伞的运动规律，结合共点力平衡和牛顿第二定律进行求解．