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    14．圆形的木板静止在水平面上，在圆心处放一个可视为质点的小铁块，小铁块底部涂有黑色颜料，小铁块的质量为m，小铁块和木板间的动摩擦因素μ．在外力作用下圆木板以加速度a向右做匀加速运动，运动时间为T，小铁块相对圆木板滑动，随后圆木板以相同的加速度大小做匀减速运动，运动时间也为T．
    （1）若小铁块不从圆木板上滑下，则圆木板的半径至少为多大？
    （2）若小铁块不从圆木板上滑下，则小铁块停止在距离圆心多远处？
    （3）若小铁块不从圆木板上滑下，μ=0.1，a=3m/s2，T=1s，m=1kg，则小铁块和圆木板间因摩擦产生的热量为多少？

    分析 （1）由题意可知，木板的加速度要大于铁块的加速度，所以撤去拉力后，木板的速度要大于铁块的速度，所以木板减速运动后，铁块仍然要做一段时间的加速运动，直到二者的速度相等后，铁块才开始减速．在这之前，木板的速度大于铁块的速度，铁块相对于木板一直向后运动，到速度相等时，二者之间位移的差即为所求．由匀变速直线运动的位移公式即可求出；
    （2）铁块开始减速后，木板也继续减速，由于铁块的加速度比较小，所以铁块的速度将大于木板的速度，铁块相对于木板向前运动，二者都停止后产生的位移差，与（1）的结果的差，即为所求；
    （3）由前两问的结果，将因摩擦产生的热量的计算公式Q=fL相对，即可求出结果．

    解答 解：（1）铁块在水平方向受到摩擦力的作用做匀加速直线运动，加速度：$a′=\frac{μmg}{m}=μg$
    由题意，设撤去拉力后再经过时间t铁块与木板的速度才相对，得：
    a（T-t）=a′（T+t）
    所以：$t=\frac{a-a′}{a+a′}T=\frac{a-μg}{a+μg}•T$   ①
    木板加速阶段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{T}^{2}$，②
    木板减速阶段的位移：${x}_{2}=aT•t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$   ③
    铁块的位移：${x}_{3}=\frac{1}{2}a′（T+t）^{2}$  ④
    在这之前，木板的速度大于铁块的速度，铁块相对于木板一直向后运动，所以它们之间位移的差：
    △x1=x1+x2-x3   ⑤
    联立①②③④⑤得：△x1=$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$   ⑥
    小铁块不从圆木板上滑下，则圆木板的半径至少为$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$．
    （2）此后，木板运动到停止时的时间是（T-t），木板的位移：${x}_{4}=a（T-t）•（T-t）-\frac{1}{2}a（T-t）^{2}$⑦
    铁块水平方向受到摩擦力的作用做减速运动，所以加速度仍然等于a′，由运动的对称性可知，铁块减速阶段的位移与加速阶段的位移相等，等于x3．
    铁块相对于木板向前的位移：△x2=x3-x4⑧
    联立③④⑦⑧得：△x2=$\frac{2a•μg（a-μg）}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$    ⑨
    所以此时铁块到木板的圆心的距离是：
    L=△x1-△x2=$\frac{2{a}^{3}-{a}^{2}μg+4a{μ}^{2}{g}^{2}-{μ}^{3}{g}^{3}}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$
    （3）铁块加速阶段，铁块相对于木板的位移是；铁块减速阶段，铁块相对于木板的位移是；
    所以小铁块和圆木板间因摩擦产生的热量为：Q=f（△x1+△x2）=μmg（△x1+△x2）
    将μ=0.1，a=3m/s2，T=1s，m=1kg，以及⑥⑨代入上式，得：
    Q=3.25J
    答：（1）若小铁块不从圆木板上滑下，则圆木板的半径至少为$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$；
    （2）若小铁块不从圆木板上滑下，则小铁块停止在距离圆心$\frac{2{a}^{3}-{a}^{2}μg+4a{μ}^{2}{g}^{2}-{μ}^{3}{g}^{3}}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$处；
    （3）若小铁块不从圆木板上滑下，μ=0.1，a=3m/s2，T=1s，m=1kg，则小铁块和圆木板间因摩擦产生的热量为3.25J．

    点评 该题通过铁块与木板的相对运动，考查运动的过程中产生的热量，属于多个物体、多个过程的问题．由于涉及的过程比较复杂，所以一定要理清铁块和木板的运动的过程，特别是在求木板的最小半径的过程中，不能当成是木板速度最大时二者之间位移的差．

    练习册系列答案
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    （1）若导体棒MN在外力作用下保持静止，求t=2s时刻导体棒受到的安培力的大小．
    （2）若导体棒MN在外力作用下，在匀强磁场B1中向右做匀速直线运动，运动速度大小v=25m/s，求t=4s时刻导体棒受到的安培力的大小．

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    5．某班级同学用如图（a）所示装置验证加速度a和力F、质量m的关系．甲、乙两辆小车放在倾斜轨道上，小车甲上固定一个加速度传感器，小车乙上固定一个力传感器，力传感器和小车甲之间用一根不可伸长的细线连接，在弹簧拉力的作用下两辆小车一起开始向下运动，利用两个传感器可以采集记录同一时刻小车甲受到的拉力和加速度的大小．

    （1）下列关于实验装置和操作的说法中正确的是A
    （A）轨道倾斜是为了平衡小车甲受到的摩擦力
    （B）轨道倾斜是为了平衡小车乙受到的摩擦力
    （C）弹簧力应远小于小车甲所受的重力
    （D）弹簧力应远小于小车乙所受的重力
    （2）四个实验小组选用的小车甲（含加速度传感器）的质量分别是m1=1.0kg、m2=2.0kg、m3=3.0kg和m4=4.0kg，其中有三个小组已经完成了a-F图象，如图（b）所示，最后一个小组的实验数据如表所示，请在图（b）中完成该组的a-F图线；
    实验次数123456
    拉力F（N）49.040.035.024.016.29.6
    加速度a（m/s2）16.313.311.78.05.43.2
    （3）在验证了a和F的关系后，为了进一步验证a和m的关系，可直接利用图（b）的四条图线收集数据，然后作图．请写出具体的做法：
    ①如何收集数据？在a-F图象上做一条垂直于横轴的直线，与四条图线分别有个交点，记录下四个交点的纵坐标a，分别与各图线对应的m组成四组数据．；
    ②为了更直观地验证a和m的关系，建立的坐标系应以a为纵轴；以$\frac{1}{m}$为横轴．

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    C．同步卫星与中轨道侦测卫星在轨道上运行的线速度之比为1：2
    D．同步卫星与中轨道侦测卫星在轨道运行的加速度之比为1：4

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