Question

（2012?东城区一模）如图所示，在竖直平面内，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ=30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上，现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v（0≤v≤

E

B

）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．求：
（1）速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间．
（2）磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析：（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，先求出粒子在匀强磁场中运动时间，粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，根据几何关系及速度时间公式求出时间，过MO后粒子做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出此过程中的时间，三段时间之和即为总时间；
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积．

解答：解：（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t₁
则 qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

    
T=

2πm

Bq

  
t1=

1

3

T  
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为s，匀速运动的时间为t₂，由几何关系知：
s=

R

tanθ

 
t2=

s

v

   
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t₃，
则：

3

2

R=

1

2

qE

m

t32   
又由题知：v=

E

B

则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间为：
t=t₁+t₂+t₃=

2(3 3 +π)

3

m

qB

 （2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积，
扇形OO′N的面积的面积S=

1

3

πR2
△OO′N的面积为：S′=R²cos30°sin30°=

3

4

R2
△S=S-S′
解得：△S=(

4π-3 3

12

)

m2E2

q2B4

答：（1）速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间为

2(3 3 +π)

3

m

qB

．
（2）磁场区域的最小面积为(

4π-3 3

12

)

m2E2

q2B4

．

点评：做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析．