Question

12．如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为p．试求铁链A端受的拉力T．

Answer 1

分析 以铁链为研究对象，分析铁链的受力情况，将铁链分割，分析每一小段铁边的受力，利用微元法求解即可．

解答 解：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况在铁链上任取长为△L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图甲所示由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：
T_θ+△T_θ=△Gcosθ+T_θ，所以△T_θ=△Gcosθ=p△Lgcosθ，
由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△T_θ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上△T_θ的和，
即：T=∑△T_θ=∑p△Lgcosθ=pg∑△Lcosθ，
观察△Lcosθ的意义，见图乙，意义△θ很小，所以CD⊥OC，∠OCE=θ，△Lcosθ表示△L在竖直方向的投影△R，所以∑△Lcosθ=R，
可得铁链A端受到的拉力T=pg∑△Lcosθ=pgR．
答：求铁链A端受的拉力T为pgR．

点评 本题主要是考查了共点力的平衡问题，解答此类问题的一般步骤是：确定研究对象、进行受力分析、利用平行四边形法则进行力的合成或者是正交分解法进行力的分解，然后在坐标轴上建立平衡方程进行解答；本题涉及微元法求解拉力，难度大．