Question

12．我国的“嫦娥工程”计划2020年实现登月．若登月舱经过多次变轨后，到达距月球表面高度为h的圆形轨道上，绕月球飞行，最后变轨使登月舱在月球表面顺利着陆．宇航员在月球上将一小球以初速度v₀竖直向上抛出，测得小球落回抛出点的时间为t，已知月球半径为R，求：
（1）月球表面附近的重力加速度g
（2）登月舱绕月球飞行的周期T．

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速运动可得月球表面重力加速度；
（2）万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出登月舱的周期．

解答 解：（1）小球向上做竖直上抛运动，运动时间：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$，重力加速度：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）登月舱绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
月球表面的物体受到的万有引力等于重力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得：T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}t}{2{v}_{0}{R}^{2}}}$；
答：（1）月球表面附近的重力加速度g为$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）登月舱绕月球飞行的周期T为2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}t}{2{v}_{0}{R}^{2}}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，重点是利用好竖直上抛，由此可得月球表面的重力加速度，这是在星球表面给加速度的一种常见方式．