Question

9．如图所示，在光滑的水平面上有两块完全相同的足够长的木板A和B，它们的质量均为M_A=M_B=$\frac{M}{2}$，先让长木板A在光滑水平地面上以速度2υ₀匀速运动，与静止的长木板B发生完全非弹性碰撞．设碰撞时间极短，碰撞结束后A、B做为一个整体沿水平方向向右运动．在运动的前方，沿着长木板运动方向相距一定距离站着序号标有1、2、3、…、n的人，每人手中各拿着与长木板间的动摩擦因数均为μ质量均为m的物块，各物块在长木板上发生相对滑动时，会留下一条“划痕”当长木板运动到第一个人的身旁时，第一个人将手中的物块无初速地轻放在长木板的最前端．当长木板运动到第二个人身旁时，第一块物块恰好相对长木板静止，第二个人将手中的物块放置在长木板的最前端．当长木板运动到第三个人身旁时，第二块物块恰好相对长木板静止，第三个人将手中的物块放罝在长木板的最前端．…依此类推，当前个人放置的物块相对长木板静止时，第n个人就将手中的物块放置在长木板的最前墒．（各物块之间不会相互碰撞） 求：
（1）在AB碰撞过程中，产生了多少热量？
（2）第一个人与第二个人相距多远？
（3）这n个物块相对木板均静止时，长木板上的划癍之和为多少？

Answer 1

分析 （1）在AB碰撞过程中，遵守动量守恒定律，由此求出碰后两者的共同速度．再由能量守恒定律求产生的热量．
（2）第一个人与第二个人相距等于第一块物块木板上滑行的过程中木板滑行的距离，由动量守恒定律和动能定理结合求解．
（3）再由动量守恒定律和能量守恒定律结合求长木板上的划痕之和．

解答 解：（1）在AB碰撞过程中，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
   $\frac{M}{2}$×2v₀=（$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{2}$）v
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$×$\frac{M}{2}$×（2v₀）²=$\frac{1}{2}$（$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{2}$）v²+Q
联立解得：Q=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
（2）第一块物块在木板上滑动的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
Mv₀=（M+m）v₁．
对木板，由动能定理得：
$\frac{1}{2}$Mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-μmgL₁．
可得，第一个人与第二个人相距为：L₁=$\frac{M（2M+m）{v}_{0}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$
（3）以n个物块和A、B组成的系统为研究对象，对整个过程，由动量守恒定律得：
Mv₀=（M+nm）v₂．
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+nm）v₂²+μmgx_总．
解得长木板上的划痕之和为：
x_总=$\frac{nM{v}_{0}^{2}}{2μ（M+nm）g}$
答：（1）在AB碰撞过程中，产生了$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$热量．
（2）第一个人与第二个人相距为$\frac{M（2M+m）{v}_{0}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
（3）这n个物块相对木板均静止时，长木板上的划痕之和为$\frac{nM{v}_{0}^{2}}{2μ（M+nm）g}$．

点评 本题要明确非弹性碰撞和相对滑行的过程中，系统遵守的基本规律是：动量守恒定律和能量守恒定律．要知道摩擦产生的热量与相对位移有关．