Question

12．如图所示，MN、PQ是水平放置的一对平行金属板，两板接在电压为U的电源两极，上极板MN的中心开有一小孔，在两板之间加一个水平方向的有界匀强磁场，边界为半径为R的圆形，且与MN极板相切与小孔．现将一带电小球从小孔正上方某处由静止释放，小球穿过小孔经磁场偏转后沿直线从下极板右侧Q处离开电场，已知极板长度和间距分别为4$\sqrt{3}$R和3R，磁感应强度为B，重力加速度为g．
（1）求小球的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）小球经过两极板后运动方向改变了多少？
（3）求小球离开Q点时的速度和从释放到运动至Q点时的时间．

Answer 1

分析 （1）由小球离开磁场后做直线运动得到小球受力平衡，进而得到比荷；
（2）根据几何关系求取中心角，即小球经过两极板后运动方向的改变量；
（3）由几何关系求得小球做圆周运动的半径，进而由洛伦兹力做向心力求得速度；再根据自由落体运动的速度变化得到进入磁场前的运动时间，由中心角及小球做圆周运动的周期求得在磁场中的运动时间，由匀变速运动规律求得小球离开磁场后的运动时间即可求得总时间．

解答 解：（1）小球穿过磁场后只受重力（竖直向下）、电场力（竖直方向）的作用，那么合外力方向为竖直方向，
又有小球做直线运动，那么速度和合外力方向一致，而小球要到达Q点，速度方向不可能为竖直方向，
所以，合外力为零，即为：$\frac{qU}{3R}=mg$
所以小球的比荷为：$\frac{q}{m}=\frac{3gR}{U}$；
（2）小球在磁场中所受合外力为洛伦兹力，故小球做匀速圆周运动，
那么由圆周运动规律可知，△ACO≌△DCO，所以OD⊥CD；又有DQ⊥CD；
所以ODQ在一条直线上，所以有：$∠BQD=arctan\frac{OB}{BQ}=arctan\frac{3R-R}{2\sqrt{3}R}=arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=30°$
所以，小球经过两极板后运动方向改变了60°；
（3）小球在磁场范围内做匀速圆周运动，离开磁场后受力为零，做匀速直线运动，故小球离开Q点时的速度为小球在磁场中做匀速直线运动的速度；
又有，小球在磁场中做匀速直线运动的半径为：$r=\frac{R}{tan30°}=\sqrt{3}R$，
那么由牛顿第二定律可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r}$
解得：$v=\frac{Bqr}{m}=\frac{\sqrt{3}BqR}{m}$=$\frac{3\sqrt{3}Bg{R}^{2}}{U}$；
那么，小球从静止释放到小孔的运动过程只受重力作用，做自由落体运动，故运动时间为：${t}_{1}=\frac{v}{g}=\frac{3\sqrt{3}B{R}^{2}}{U}$；
小球在磁场中转过60°，故运动时间为：${t}_{2}=\frac{1}{6}T=\frac{πm}{3Bq}=\frac{πU}{9BgR}$；
小球离开磁场后做匀速直线运动，运动时间为：${t}_{3}=\frac{\frac{BQ}{cos30°}-R}{v}=\frac{3R}{v}=\frac{\sqrt{3}U}{3BgR}$；
所以，小球从释放到运动至Q点时的时间为：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{3\sqrt{3}B{R}^{2}}{U}+\frac{π+3\sqrt{3}}{9}\frac{U}{BgR}$；
答：（1）小球的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{3gR}{U}$；
（2）小球经过两极板后运动方向改变了60°；
（3）小球离开Q点时的速度为$\frac{3\sqrt{3}Bg{R}^{2}}{U}$，从释放到运动至Q点时的时间为$\frac{3\sqrt{3}B{R}^{2}}{U}+\frac{π+3\sqrt{3}}{9}\frac{U}{BgR}$．

点评 物体运动问题，一般先对物体进行受力分析求得合外力，然后由牛顿第二定律求得加速度，再根据几何条件及运动学规律求解．