Question

5．如图，一个质量为m=2kg的小球（可视为质点）以某一初速度从A点水平抛出，恰好从圆管BCD的B点沿切线方向进入圆弧，经BCD从圆管的最高点D射出，恰好又落到B点．已知圆弧的半径为R=0.5m且A与D在同一水平线上，BC弧对应的圆心角θ=53°，不计空气阻力．求：
（1）小球从A点做平抛运动的初速度v₀的大小；
（2）在D点处管壁对小球的作用力N的大小及其方向；
（3）小球在圆管中运动时克服阻力做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出平抛运动下降的高度，从而求出竖直方向上的分速度，根据运动的合成和分解求出初速度的大小．
（2）根据平抛运动知识求出小球在D点的速度，再根据牛顿第二定律求出管壁对小球的弹力作用．
（3）对A到D全程运用动能定理，求出小球在圆管中运动时克服阻力做的功

解答 解：（1）小球从A到B：
竖直方向v${\;}_{y}^{2}$=2gR（1+cos53°）=3.2gR
则v_y=$\sqrt{3.2×10×0.5}$=4m/s
在B点，由速度关系v₀=$\frac{{v}_{y}}{tan53°}$=$\frac{4}{\frac{4}{3}}$m/s=3m/s
（2）小球从D到B：竖直方向R（1+cos53°）=$\frac{1}{2}$gt²
解得：t=$\sqrt{\frac{0.5×（1+0.6）×2}{10}}$s=0.4s
则小球从D点抛出的速度v_D=$\frac{{Rsin{{53}^0}}}{t}$=$\frac{0.5×0.8}{0.4}$=1m/s
在D点，由向心力公式得：mg-N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：N=2×10$-2×\frac{{1}^{2}}{0.5}$=16 N   方向竖直向上
（3）从A到D全程应用动能定理：-W_l=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：W_l=$\frac{1}{2}×2$×3²-$\frac{1}{2}×2$×1²=8J
答：（1）小球从A点做平抛运动的初速度v₀的大小为3m/s；
（2）在D点处管壁对小球的作用力N的大小为16N，其方向竖直向上；
（3）小球在圆管中运动时克服阻力做的功8J．

点评 本题综合考查了平抛运动和圆周运动的基础知识，难度不大，关键搞清平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．