如图所示.可视为质点的质量为m的小滑块可在轨道ABCD间往复运动.中间圆弧部分BC与两侧斜面对称相切．两侧斜面的倾角都等于45°.斜面顶点A.D到水平直线BC的竖直距离都为h.圆弧BC的半径也等于h．小滑块与AB间的动摩擦因数为0.5.小滑块与圆弧BC之间没有摩擦．现让小滑块从A点由静止滑下.经圆弧BC冲上斜面CD.在CD上滑到E点速� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图所示，可视为质点的质量为m的小滑块可在轨道ABCD间往复运动，中间圆弧部分BC与两侧斜面对称相切．两侧斜面的倾角都等于45°，斜面顶点A、D到水平直线BC的竖直距离都为h，圆弧BC的半径也等于h．小滑块与AB间的动摩擦因数为0.5，小滑块与圆弧BC之间没有摩擦．现让小滑块从A点由静止滑下，经圆弧BC冲上斜面CD，在CD上滑到E点速度为零，E点距离直线BC的高度为0.4h．小滑块再从E点返回，在斜面AB上滑到F点速度为零，然后再从F点滑下，F点相对于直线BC的高度为$\frac{1}{5}$h，重力加速度为g．求：
（1）圆弧轨道最低点受到的最大压力；
（2）小滑块与轨道CD之间的动摩擦因数；
（3）小滑块从开始到最终在BC之间运动，在两条直轨道上滑动的路程之和．

分析（1）根据动能定理求出小滑块第1次经过圆弧最低点的速度，再根据向心力公式列式求解即可；
（2）A到E的过程中重力与摩擦力做功，由动能定理即可求出；
（3）小滑块由A运动到BC之间点，根据动能定理求出在AB上下滑的距离和在CD上上滑的距离之间的关系，找出规律，再根据数学知识求解．

解答解：（1）小滑块由A运动到最低点的过程中重力和摩擦力对滑块做功，由动能定理得：$mgh+mgR（1-cos45°）-μmgcos45°•\frac{h}{sin45°}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
经最低点时支持力与重力的合力提供向心力，则：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{R}$
又：R=h
联立解得：F_N=（4-$\sqrt{2}$）mg
根据牛顿第三定律可知：滑块对轨道的压力（4-$\sqrt{2}$）mg，方向竖直向下；
（2）A到E的过程中重力和摩擦力做功，由动能定理得：
$mgh-μmgcos45°•\frac{h}{sin45°}-mg•0.4h-μ′mgcos45°•\frac{0.4h}{sin45°}=0$
所以：μ′=0.25
（3）设小滑块在斜面AB上依次下滑的距离分别为L₁、L₂、L₃…，在斜面CD上依次上滑的距离分别为x₁、x₂、x₃…，
小滑块由P运动到Q点，则有：
mg（L₁-x₁sin45°-μmgL₁cos45°+μ′mgx₁cos45°）=0
同时，由题意，${L}_{1}=\frac{h}{sin45°}$=$\sqrt{2}h$，${L}_{2}=\frac{\frac{1}{5}h}{sin45°}$=$\frac{1}{5}•\sqrt{2}h$；…
以及：${x}_{1}=\frac{0.4h}{sin45°}$，
所以L₁、L₂、L₃…构成公比为$\frac{1}{5}$的等比数列，同理x₁、x₂、x₃…构成公比为$\frac{1}{5}$的等比数列；
设从静止开始下滑到滑块只能在BC之间运动共2n-1次经过B点，该过程中在斜面AB上运动通过的总路程为s_n．
则总路程为：s_n=L₁+2（L₂+L₃+…+L_n）
根据等差数列求和，当n→∞时得：s_n=$\sqrt{2}h$+2×$\frac{\frac{1}{5}•\sqrt{2}h[1-（\frac{1}{5}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{5}}$=$1.5\sqrt{2}h$，
滑块在CD上的总路程：s_n′=2（x₁+x₂+x₃+…+x_n-1）
求和得：${s}_{n}′=0.5\sqrt{2}h$
所以小滑块从开始到最终在BC之间运动，在两条直轨道上滑动的路程之和为：$S={s}_{n}+{s}_{n}′=1.5\sqrt{2}h+0.5\sqrt{2}h=2\sqrt{2}h$
答：（1）圆弧轨道最低点受到的最大压力是（4-$\sqrt{2}$）mg；
（2）小滑块与轨道CD之间的动摩擦因数是0.25；
（3）小滑块从开始到最终在BC之间运动，在两条直轨道上滑动的路程之和是$2\sqrt{2}h$．

点评本题主要考查了动能定理及向心力公式的直接应用，要求同学们能根据数学数列方面的知识求解物体问题，难度较大．

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