Question

【题目】根据玻尔理论，电子绕氢原子核运动可以看作是仅在库仑引力作用下的匀速圆周运动，已知普朗克常数h，真空中光速为c，电子的电荷量为e，质量为m，电子在第1轨道运动的半径为r1，静电力常量为k.

氢原子在不同的能量状态，对应着电子在不同的轨道上绕核做匀速圆周运动，电子做圆周运动的轨道半径满足rn=n2r1，其中n为量子数，即轨道序号，rn为电子处于第n轨道时的轨道半径。电子在第n轨道运动时氢原子的能量En为电子动能与“电子-原子核”这个系统电势能的总和。理论证明，系统的电势能Ep和电子绕氢原子核做圆周运动的半径r存在关系：Ep=-k（以无穷远为电势能零点）。请根据以上条件完成下面的问题。

①试证明电子在第n轨道运动时氢原子的能量En和电子在第1轨道运动时氢原子的能量E1满足关系式

②假设氢原子甲核外做圆周运动的电子从第2轨道跃迁到第1轨道的过程中所释放的能量，恰好被量子数n=4的氢原子乙吸收并使其电离，即其核外在第4轨道做圆周运动的电子脱离氢原子核的作用范围。不考虑电离前后原子核的动能改变，试求氢原子乙电离后电子的动能。

③氢原子光谱中巴耳末系的谱线波长公式为： ，n = 3、4、5…，请根据玻尔理论推导巴耳末公式并确定里德堡常数R的表达式。

Answer 1

【答案】①②③

【解析】①设电子在第n轨道上运动的速度大小为，根据牛顿第二定律有

电子在第n轨道运动的动能

电子在第n轨道运动时氢原子的能量

又因为

则有其中命题得证。

②由①可知，电子从第2轨道跃迁到第1轨道所释放的能量

电子在第4轨道运动时氢原子的能量

设氢原子电离后电子具有的动能为Ek，根据能量守恒有

解得

③玻尔理论认为巴耳末系为氢原子从n=3、4、5…，等能级向n=2的能级跃迁时发出的光，根据玻尔跃迁假设可知即

所以n=3、4、5…，

对照巴耳末公式可知里德堡常数