Question

12．为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个质量为2kg的小物块以初速度v₀=4.0m/s，从某一高处水平抛出，恰从A点无碰撞地沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道AB的动摩擦因数μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）：
（1）求小物块的抛出点和A点的高度差；
（2）求小物块沿着轨道AB运动的过程中克服摩擦力所做的功；
（3）为了让小物块能沿着轨道运动，并从E点飞出，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形定则求出竖直分速度的大小，结合动能定理求出小物块的抛出点和A点的高度差．
（2）根据滑动摩擦力的大小，结合斜面的长度求出滑动摩擦力做功的大小．
（3）根据牛顿第二定律求出最高点的最小速度表达式，结合动能定理和机械能守恒定律求出竖直圆轨道的半径．

解答 解：（1）设从抛出点到A点的高度差为h，到A点时有则有：
$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$，${v}_{y}=\sqrt{2gh}$，
且 $\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan37°$，
代入数据解得h=0.45m   
（2）小物块沿着轨道AB运动的过程中克服摩擦力所做的功为：
W=μmgcos37°L=0.5×20×0.8×2J=16J  
（3）小物体到达A点时的速度：${v}_{A}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{16+0.45×20}$m/s=5m/s．
从A到B，由动能定理：$mgLsin37°-μmgcos37°×L=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
小物体从B到环最高点机械能守恒：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}+mg2R$，
在最高点有：$m\frac{{{v}_{p}}^{2}}{R}≥mg$，
代入数据解得：R≤0.66m． 
答：（1）小物块的抛出点和A点的高度差为0.45m．
（2）小物块沿着轨道AB运动的过程中克服摩擦力所做的功为16J．
（3）竖直圆轨道的半径应该满足R≤0.66m．

点评 此题要求熟练掌握平抛运动、动能定理、机械能守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度中等．