Question

3．如图甲所示，在光滑绝缘的水平桌面上建立xOy坐标系，平面处在周期性变化的电场和磁场中，电场和磁场的变化规律如图乙所示（规定沿+y方向为电场强度的正方向，竖直向下为磁感应强度的正方向）．在t=0时刻，一个质量为10g、电荷量为0.1C且不计重力的带电金属小球自坐标原点O处，以v₀=2m/s的速度沿x轴正方向射出．已知E₀=0.2N/C、B₀=0.2πT．求：
（1）t=1s末时，小球速度的大小和方向；
（2）在1s～2s这段时间内，金属小球在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（3）在3s～4s这段时间内，金属小球运动至离x轴最远点的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）第一秒内粒子做类似平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列式求解；
（2）根据洛伦兹力提供向心力列式求解轨道半径，由圆周运动公式求得周期；
（3）粒子奇数秒内做类似平抛运动，偶数秒内做匀速圆周运动，轨道半径逐渐增大，画出轨迹．求出3s末的位置坐标．

解答 解：（1）第一秒内：小球做类平抛运动，
v_x=v₀，v_y=at=$\frac{q{E}_{0}}{m}$t，
速度为：v₁=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$，
解得：v₁=2$\sqrt{2}$m/s，θ=45°，与x轴正方向夹角为45°；
（2）1s-2s内小球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
qv₁Bm=$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：R₁=$\frac{\sqrt{2}}{π}$m，
周期为：T=$\frac{2πR}{v}$，解得：T=1s；
（3）粒子运动轨迹如图甲所示，3s末粒子的坐标为：x=v₀t=2×2=4m，
y=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$t²=$\frac{1}{2}$×$\frac{0.1×0.2}{0.01}$×2²=4m，
此时粒子的速度为：v₃=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（\frac{q{E}_{0}}{m}t）^{2}}$，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{q{E}_{0}}{m}t}{{v}_{0}}$，
解得：v₃=2$\sqrt{5}$m/s，tanθ=2，带电粒子在3s～4s内做圆周运动的轨迹如图乙所示
半径：R₂=$\frac{m{v}_{3}}{q{B}_{0}}$=$\frac{0.01×2\sqrt{5}}{0.1×0.2π}$=$\frac{\sqrt{5}}{π}$m；
3s～4s内粒子运动至离x轴最远点G坐标为（X，Y）
X=x-R₂sinθ=4+$\frac{\sqrt{5}}{π}$sinθ=（4-$\frac{2}{π}$）m，Y=y+R₂（1+cosθ）=4+$\frac{\sqrt{5}}{π}$（1+cosθ）=（4+$\frac{\sqrt{5}}{π}$+$\frac{1}{π}$）m；
答：（1）t=1s末时，小球速度的大小为：2$\sqrt{2}$m/s，方向：与x轴正方向夹角为45°；
（2）在1s～2s这段时间内，金属小球在磁场中做圆周运动的半径为$\frac{\sqrt{2}}{π}$m，周期为1s；
（3）在3s～4s这段时间内，金属小球运动至离x轴最远点的位置坐标为：（（4-$\frac{2}{π}$）m，（4+$\frac{\sqrt{5}}{π}$+$\frac{1}{π}$）m）．

点评 本题中粒子奇数秒内做类似平抛运动，偶数秒内做匀速圆周运动，关键是画出运动轨迹并根据平抛运动规律和匀速圆周运动规律列式分析．