Question

如图所示，半径为r的圆形导线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直于导线框所在平面，导线框的左端通过导线接一对水平放置的平行的金属板，两极间的距离为d，板长为L，t=0时，磁场的磁感应强度B从B₀开始均匀增大，同时在板2的左端且非常靠近板2的位置有一质量为m带电量为的液滴以初速度v₀水平向右射入两板间，该液滴可视为质点．
（1）要使该液滴从两板正中央射出，则射出的液滴的动能多大？
（2）要使该液滴能从两板间射出，磁感应强度随时间的变化率k应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据粒子出磁场时，速度的反向延长线经过轴线的中点，得出竖直分速度与水平速度的关系，从而求出射出时液滴的动能．
（2）粒子受重力和电场力，要使该液滴能从两板间射出，临界情况是：1、匀速直线运动离开平行金属板，2、从上级板边缘离开平行金属板，抓住两临界情况，结合法拉第电磁感应定律、牛顿第二定律和运动学公式求出磁感应强度的变化率．

解答：解：（1）粒子出磁场时，速度的反向延长线经过轴线的中点，根据相似三角形得：

vy

v0

=

d 2

L 2

=

d

L

．
解得：vy=v0

d

L

…①
则：E_k=

1

2

mv2=

1

2

m(

v

2 0

+

v

2 y

)…②
解①②得：E_k=

L2+d2

2L2

m

v

2 0

（2）U_C=E=

△Bπr2

△t

=kπr²…③
当k有极小值时：

Uc

d

q-mg=0…④
解③④得：k_min=

mgd

πr2q

当k有极大值时：

Uc

d

q-mg=ma…⑤
t=

L

v0

=

2d a

…⑥
解③⑤⑥得：k_max=

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)
∴

mgd

πr2q

≤k＜

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)
答：（1）要使该液滴从两板正中央射出，则射出的液滴的动能为

L2+d2

2L2

m

v

2 0

．
（2）磁感应强度随时间的变化率k应满足

mgd

πr2q

≤k＜

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)．

点评：解决本题的关键抓住临界情况，结合法拉第电磁感应定律、牛顿第二定律和运动学公式进行分析求解．