Question

5．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示．已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求：
（1）卫星在近地点A的加速度大小
（2）远地点B距地面的高度．

Answer 1

分析 卫星近地点A的加速度由万有引力提供，求出万有引力加速度就可以，在地球表面，重力和万有引力相等，由此可以求出卫星在近地点的加速度；
在地球同步卫星轨道，已知卫星的周期求出卫星的轨道高度．

解答 解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常数为G，卫星在A点的加速度为a，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+{h}_{1}）^{2}}=ma$
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，则：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解以上两式得：a=$\frac{g{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
（2）设远地点B距地面高度为h₂，卫星受到的万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+{h}_{2}）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h₂）
解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．
答：（1）卫星在近地点A的加速度大小为$\frac{g{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$；
（2）远地点B距地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．．

点评 此题是万有引力定律的应用的典型问题；解题时关键是知道卫星做圆周运动的向心力等于万有引力；根据牛顿定律列出方程即可；注意黄金代换式子GM=gR²的应用．