Question

8．如图所示，一长为1m，质量为m_B=2kg的木板B静止在水平地面上，B与地面间的动摩擦因数为μ_B=0.2，一质量为m_A=3kg的小铁块A（可视为质点）从B的左端以V₀=3m/s的初速度向右滑上木板，A、B之间动摩擦因数为μ_A=0.4．求：
（1）A对B的相对位移S_AB
（2）最终A对地的位移S_A．

Answer 1

分析 （1）滑块滑上木板滑块做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，达到共同速度后，共同做减速运动直至停止，根据牛顿第二定律分别求出它们的加速度，求出两物体速度相同时所需的时间，从而求出小滑块相对地面的位移大小和A对B的相对位移S_AB；
（2）求出共同做减速运动直至停止的位移，从而求出小滑块自滑上长板到最后静止（相对地面）的过程中运动的位移．

解答 解：对于A，它开始减速运动的加速度大小：
a₁=-$\frac{{μ}_{A}{m}_{A}g}{{m}_{A}}$=-μ_Ag=-0.4×10=-4m/s²
设B的加速度大小为a₂：
a₂=$\frac{{μ}_{A}mg-{μ}_{B}（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{m}_{B}}$=$\frac{0.4×3×10-0.2×（2+3）×10}{2}=1$m/s²
由于A减速，B加速，设经过时间t₁二者达到共同速度，
有V₀+a₁t₁=a₂t₁，
代入数据，解得：t₁=0.6 s                                                   
A在这段时间内滑行的位移：
X₁=V₀t₁+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=3×$0.6-\frac{1}{2}×4×0．{6}^{2}$=1.08m                       
B在这段时间内滑行的位移：
X₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1×0．{6}^{2}=\frac{1}{2}×1×0．{6}^{2}=0.18$m                         
小滑块滑上长木板后，相对于长木板运动的总位移：
△x=X₁-X₂=1.08-0.18=0.9m     
（2）当二者达到共同速度后，由于地面摩擦，设将一起做减速运动，共同运动时加速度加速度大小为a₃，
${a}_{3}=-\frac{{μ}_{B}（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{{m}_{A}+m}_{B}}=-{μ}_{B}g=-0.2×10=-2m/{s}^{2}$
可知$|\begin{array}{l}{{a}_{3}}\\{\;}\end{array}|＜|\begin{array}{l}{{a}_{1}}\\{\;}\end{array}|$，之后A与B一起做减速运动，后阶段的初速度为：
V=a₂t₁=1×0.6=0.6m/s             
A与B一起做减速运动的位移为：
X₃=$\frac{{0-V}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{0-0．{6}^{2}}{2×（-2）}=0.09$m                        
则全过程m相对于地移动的距离为：
X=X₁+X₃=1.08+0.09=1.17m
答：（1）小滑块A滑上长木板后，A对B的相对位移是0.9m；（2）最终A对地的位移是1.17m．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键理清滑块和木板的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式求解．