Question

9．我国研制的“神舟”七号载人飞船顺利升空后，首先沿椭圆轨道运行，然后变轨绕地球作匀速圆周运动．若飞船匀速运转时距地面的高度为h，地球半径为R，地球质量为M，万有力常数为G，求：
①飞船绕地球运行的速率；
②飞船绕地球运行的加速度与地球表面物体重力加速的比值．（忽略地球自转的影响）

Answer 1

分析 在地球表面，重力和万有引力相等，神舟七号飞船轨道上，万有引力提供飞船做圆周运动的向心力；
忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式；月球绕地球在引力提供向心力作用下做匀速圆周运动，从而可求出球绕地球运行的向心加速度与地球表面的重力加速度的之比．

解答 解：①地球质量为M，飞船质量为m
对飞船有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
②物体在地球表面所受的重力等于其引力，则有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
飞船绕地球在引力提供向心力作用下做匀速圆周运动，则有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=ma_n
联立上两式可得：a_n：g=R²：（R+h）²；
答：①飞船绕地球运行的速率$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
②飞船绕地球运行的加速度与地球表面物体重力加速的比值R²：（R+h）²．

点评 万有引力的应用两点注意：（1）星球表面的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受的万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．注意轨道半径和距地面距离的关系；
由重力近似等于万有引力得到的表达式g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$被称为黄金代换式．