Question

15．如图所示，在纸面内有一绝缘材料制成的等边三角形框架DEF区域足够大的空间中充满磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直于纸面向里．等边三角形框架DEF的边长为L，在三角形DEF内放置平行板电器MN，N板紧靠DE边，N板及DE中点S处均开有小孔，在两板间紧靠M板处有一质量为m、电量为q（q＞0）的带电粒子由静止释放，如图（a）所示．若该粒子与三角形框架碰撞时均无能量损失，且每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边，不计粒子的重力．

（1）若带电粒子能够打到E点，求MN板间的最大电压；
（2）为使从S点出发的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，求带电粒子从S点发出时的速率v应为多大？最短时间为多少？
（3）若磁场是半径为a的圆柱形区域，如图（b）所示（图中圆为其横截面），圆柱的轴线通过等边三角形的中心O，且a=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{10}$）L．要使从S点发出的粒子最终能回到S点，带电粒子速度v的大小应为多少？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，列出粒子的速度与电压的关系；根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子在磁场中运动的轨道半径．根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径，结合等边三角形边长，画出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求得加速电场的电压；
（2）求出带电粒子在匀强磁场中运动的周期，根据几何关系知，从S点发射出的某带电粒子从S点发射到第一次返回S点经历的周期的个数，从而得出运动的时间；
（3）S点发出的粒子最终又回到S点必须满足（2）的条件，并且因为有a=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{10}$）L的限制，还要要求粒子不能从圆形有界磁场的外边界飞出，要求此粒子每次与△DEF的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到S点；粒子能绕过顶点与△DEF的边相碰，根据半径公式和几何关系求出粒子的速度．

解答 解：解：（1）设粒子到达N板小孔时的速度为υ，由动能定理得：qU_m=$\frac{1}{2}$mv²…①
从小孔发出的粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，根据牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
MN板间的最大电压最大时，粒子经过一个半圆打到E点，根据几何关系可得：$\frac{L}{2}$=2R…③
由①②③解得：U_m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}q}{32m}$
（2）如图一所示，

由题意可知，S点发射的粒子最终又回到S点的条件是：SE=（2n-1）R=$\frac{L}{2}$ （n=1，2，3…）…④
联立②④式可得：v=$\frac{qBL}{2（2n-1）m}$（n=1，2，3…）
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$ 
粒子圆周运动的次数最少（n=1）时，运动的时间最短，
即：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{L}{2}$时时间最短，此时粒子速度：v=$\frac{qBL}{2m}$
粒子以三角形的三个顶点为圆心运动，每次碰撞所需时间：t₁=$\frac{5}{6}T$
粒子经过三个周期性运动回到S点，粒子运动的最短时间t=3t₁=$\frac{5}{2}T$=$\frac{5πm}{qB}$
（3）如图二所示，设E点到磁场区域边界的最短距离为L′，

由题设条件可知：L′=a-$\frac{L}{2cos30°}$=$\frac{L}{10}$
S点发射的粒子要再次回到S点就必须在磁场区域内运动，需满足：R≤L′=$\frac{L}{10}$
所以要想粒子能再次回到S点必须同时满足：（2n-1）R=$\frac{L}{2}$ （n=1，2，3…）和R≤$\frac{L}{10}$
联立可得：n≥3
可知，当n=3时粒子恰好与圆形磁场区域的外边界相切，当n＜3时粒子将射出磁场，无法再次回到S点，
综上所述，粒子要再次回到S点需满足：（2n-1）R=$\frac{L}{2}$ （n=3，4，5…）
将R=$\frac{mv}{qB}$代入上式可得：v=$\frac{qBL}{2（2n-1）m}$（n=3，4，5…）
答：（1）若带电粒子能够打到E点，MN板间的最大电压为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}q}{32m}$；
（2）为使从S点出发的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，带电粒子从S点发出时的速率v应为$\frac{qBL}{2m}$，最短时间为$\frac{5πm}{qB}$；
（3）若磁场是半径为a的圆柱形区域，如图（b）所示（图中圆为其横截面），圆柱的轴线通过等边三角形的中心O，且a=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{10}$）L．要使从S点发出的粒子最终能回到S点，带电粒子速度v的大小应为v=$\frac{qBL}{2（2n-1）m}$（n=3，4，5…）．

点评 解决本题的关键得出粒子在磁场中运动的半径通项表达式，确定半径为何值时恰好打在E点，何时能够回到S点，结合半径公式和周期公式进行求解．注意结合几何特性及半径与长度的关系，从而确定运动轨迹，这是解题的关键．第三问要注意临界几何条件的寻找，可以简单理解为：让最容易从磁场中飞离磁场的粒子（即以E为圆心的粒子轨迹）恰好与磁场外边界相切，满足的条件和第二问一样，只不过磁场有外边界限制后需要重新对n进行取值．