Question

如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，两条足够长的平行导轨组成一个倾角为53°的斜面框架，磁场方向与导轨所在平面垂直．导轨上端连接一阻值为2R的电阻和电键S，导轨电阻不计．两金属棒a和b的电阻均为R，质量分别为m_a=0.05kg和m_b=0.02kg，它们与导轨接触良好，并可沿导轨无摩擦地运动，g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若将b棒固定，电键S断开，用一平行斜面向上的恒力F拉a棒，当a棒以v₁=5m/s的速度稳定向上匀速运动．此时再释放b棒，b棒恰能保持静止．求拉力F的大小；
（2）若将a棒固定，电键S闭合，让b棒自由下滑，求b棒滑行的最大速度v₂；
（3）若将a棒和b棒都固定，电键S断开，使磁感应强度从B随时间均匀增加，经0.2s后磁感应强度增大到2B时，a棒所受到的安培力大小正好等于b棒的重力大小，求两棒间的距离d．

Answer 1

（1）a棒作切割磁感线运动，产生感应电动势：ε=BLv₁
a棒与b棒构成串联闭合电路，电路中的电流强度为  I=

ε

2R

=

BLv1

2R

a棒、b棒受到的安培力大小相等，均为F_a=F_b=BIL
根据平衡条件得：
  对b棒有：BIL-m_bgsin53°=0
  对a棒有：F-BIL-m_agsin53°=0
联立解得F=（m_a+m_b）gsin53°=（0.05+0.02）×10×0.8N=0.56N
并得到   

B2L2

R

=0.064
（2）a棒固定、电键S闭合后，b棒自由下滑作切割磁感线运动，最终b棒以最大速度v₂匀速运动，此时产生的感应电动势为：ε₂=BLv₂
a棒与电阻2R并联，再与b棒串联构成闭合电路，电流强度为I2=

ε2

2 3 R+R

=

3BLv2

5R

由b棒受力平衡：BI₂L-m_bgsin53°=0
解得B?

3BLv2

5R

?L=m_bgsin53°
代入得 v2=

5R×mbg×0.8

3B2L2

=

25

6

m/s≈4.17m/s
（3）电键S断开后，当磁场均匀变化时，在a、b棒与平行导轨构成的闭合回路内产生的感应电动势为ε3=

△B?Ld

△t

依题意有：

F

′a

=2B×

△B×Ld

△t×2R

×L=mbg
解得：d=

mbgR?△t

B2L2

=

0.2×0.2

0.064

m=0.625m
答：
（1）拉力F的大小是0.56N；
（2）b棒滑行的最大速度v₂是4.17m/s．
（3）两棒间的距离d为0.625m．