Question

17．2005年10月12日，我国成功发射了“神舟”六号载人飞船．这是继2003年10月15日“神舟”五号载人飞船成功发射之后，人类探索太空历史上的又一次重要成就．这次执行任务的长二F型运载火箭，全长58.3m，起飞质量为479.8t，刚起飞时，火箭竖直升空，航天员费俊龙、聂海胜有较强的超重感，仪器显示他们对座舱的最大压力达到他们体重的5倍．飞船入轨之后，在115.5h内环绕地球飞行77圈，将飞船的轨道简化为圆形，求
（1）点火发射时，火箭的最大推力；（g取10m/s²，结果保留两位有效数字）
（2）飞船运行轨道与地球同步卫星轨道的半径之比．（可以保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律解出航天员的加速度，此加速度也是飞船的加速度，再对飞船列牛顿第二定律，解出其所需的推力；
（2）研究飞船绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出周期，再根据已知量周期找出未知量轨道半径之比．

解答 解：（1）对宇航员进行受力分析，并由牛顿第二定律得
N=5mg，
N-mg=ma
对火箭应用牛顿第二定律得
F-Mg=Ma
由以上两式解得F=5Mg=2.4×10⁷N
（2）飞船运行周期${T}_{1}=\frac{115.5}{77}h=1.5h$，轨道半径为r₁，
同步卫星运行周期为T₂=24 h，轨道半径为r₂，对飞船及同步卫星分别有
$G\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}=m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$
$G\frac{Mm}{{r}_{2}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$
解得：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\root{3}{\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}}$=$\frac{1}{4\root{3}{4}}$
答：（1）点火发射时，火箭的最大推力为2.4×10⁷N；
（2）飞船运行轨道与地球同步卫星轨道的半径之比为$\frac{1}{4\root{3}{4}}$．

点评 解决本题的关键掌握牛顿第二定律，以及万有引力提供向心力分析，第2问也可以由普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=C$分析求解．