Question

17．已知引力常量G和以下各组数据，可以计算出月球的质量的是（　　）

• A． 人造卫星绕地球运行的周期T及卫星离地球中心的距离r
• B． 人造卫星绕月球运行的周期T及卫星离月球中心的距离r
• C． 人造卫星在月球附近绕行时的速度v和角速度ω
• D． 若不考虑月球的自转，已知月球的半径R及月球表面的重力加速度g

Answer 1

分析 地球、月球、人造卫星等做匀速圆周运动，它们受到的万有引力充当向心力，用它们的运动周期表示向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律列式求中心天体的质量，然后由选项条件判断正确的答案．

解答 解：A、人造卫星绕地球运动的周期和卫星离地球中心的距离，根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，其中m为卫星质量，在等式中消去，只能求出地球的质量M．也就是说只能求出中心体的质量．故A错误．
B、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，已知人造卫星绕月球运行的周期T及卫星离月球中心的距离r，能求出月球的质量，故B正确．
C、人造地球卫星在月球附近绕行时，轨道半径近似等于月球的半径，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，则月球的质量 M=$\frac{R{v}^{2}}{G}$；又 R=$\frac{v}{ω}$，可得：M=$\frac{{v}^{3}}{Gω}$，可以求出月球的质量，故C正确．
D、根据重力等于万有引力，得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，得月球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，由于月球的半径R已知，所以能求出月球的质量．故D正确．
故选：BCD

点评 解答万有引力定律在天体运动中的应用时要明确天体做匀速圆周运动，其受到的万有引力提供向心力，会用线速度、角速度、周期表示向心力，同时注意公式间的化简．