Question

一个质量为2m的小球被长为L的轻质细绳悬挂，小球可以绕悬点O在竖直平面内摆动，不计空气阻力，则开始小球静止且恰能与地面接触而不发生相互作用，一个质量为m的小物块在光滑水平面上滑行并与小球发生正碰，碰后物块静止不动而小球在竖直平面内刚好可以通过最高点做圆周运动，当小球再次与物块发生正碰后，小物块速度变为最初速度的一半，已知重力加速度为g，两物体均可视为质点，试求
（1）小物块最初的速度V₀的大小；
（2）第二次碰撞中系统损失的机械能△E．

Answer 1

分析：（1）小球恰好通过最高点作圆周运动，此时重力刚好提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的速度，根据动能定理求出小球在最低点碰后的速度，通过动量守恒定律求出小物块最初的速度大小．
（2）小球从第一次碰后到第二次碰前，由于机械能守恒且同在最低点，所以第二次碰前的速度仍为V₁．根据动量守恒定律求出第二次碰后的速度，结合能量守恒定律求出系统损失的机械能．

解答：解：（1）小球恰好通过最高点作圆周运动，此时重力刚好提供向心力，设速度为V，有2mg=2m

V2

L

得V=

gL

设小球第一次碰完后速度为V₁，其后在摆至最高点过程中，根据动能定理：
-2?2mgL=

1

2

?2m V²-

1

2

?2m V₁²    
代入V值可得V₁=

5gL

第一次碰撞过程中，物块和小球系统动量守恒，有
mV₀=2m V₁
代入V₁值可得V₀=2

5gL

（2）小球从第一次碰后到第二次碰前，由于机械能守恒且同在最低点，所以第二次碰前的速度仍为V₁．
设小球第二次碰完后的速度为V₂，根据第二次碰撞物块和小球系统动量守恒
2m V₁=2m V₂+m˙

1

2

V₀            
代入V₁、V₀值可得V₂=

1

2

5gL

故第二次碰撞系统损失的机械能
△E=

1

2

?2m V₁²-

1

2

?2m V₂²-

1

2

m（

1

2

V₀）²   
代入所求的速度值可得
△E=

5

4

mgL              
答：（1）小物块最初的速度V₀的大小为2

5gL

（2）第二次碰撞中系统损失的机械能△E为

5

4

mgL．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律、牛顿第二定律和能量守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．