Question

14．固定在竖直平面内的光滑细圆管，管道半径为R．若沿如图所示的两条虚线截去轨道的四分之一，管内有一个直径略小于管径的小球在运动，且恰能从一个截口抛出，从另一个截口 无碰撞的进入继续做圆周运动，空气阻力忽略不计．则小球在运动过程中（　　）

• A． 小球的运动轨迹为圆
• B． 每次飞越无管区域时的最高点在过圆管中心的竖直线上
• C． 每次进入圆管时的水平分速度和竖直分速度大小相等
• D． 每次飞跃无管区的时间为$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}R}{g}}$

Answer 1

分析 小球离开管口后做斜抛运动，将小球的运动分解为水平方向和竖直方向上，根据等时性求出初速度的大小，从而根据竖直方向上的运动规律求出每次飞越无管区域的时间．

解答 解：A、小球离开管口后，仅受重力，做斜抛运动，小球运动的轨迹不是圆，故A错误．
B、小球做斜抛运动，最终从另一截口无碰撞进入，跟对称性知，每次飞越无管区域的最高点在过圆管中心的竖直线上．由几何关系知，小球离开管口时速度与水平方向的夹角为45度，由对称性知，进入管口时速度与水平方向的夹角也为45度，根据平行四边形定则得，每次进入圆管时水平分速度与竖直分速度相等，故B、C正确．
D、设小球离开管口的速度为v₀，则离开管口时竖直分速度$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$，离开管口时水平分速度${v}_{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$，
小球在空中运动的时间t=$\frac{2{v}_{y}}{g}$=$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}$，在水平方向上有：$\sqrt{2}R=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}t$，解得${v}_{0}=\sqrt{\sqrt{2}gR}$，t=$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}R}{g}}$，故D正确．
故选：BCD．

点评 解决本题的关键掌握处理斜抛运动的方法，知道竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，抓住等时性，结合运动学公式灵活求解．