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    【题目】(2016全国卷Ⅱ，25) 轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。

    (1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；

    (2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。

    【答案】(1) 2l (2) m≤M<m

    【解析】(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律知，弹簧长度为l时的弹性势能为

    Ep＝5mgl①

    设P到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得

    Ep＝mv＋μmg(5l－l)②

    联立①②式，并代入题给数据得

    vB＝③

    若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足

    －mg≥0④

    设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得

    mv＝mv＋mg·2l⑤

    联立③⑤式得vD＝⑥

    vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得

    2l＝gt2⑦

    P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝vDt⑧

    联立⑥⑦⑧式得

    s＝2l⑨

    (2)设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知

    5mgl>μMg·4l⑩

    要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有

    MvB′2≤Mgl

    Ep＝MvB′2＋μMg·4l

    联立①⑩式得

    m≤M<m

    练习册系列答案
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    (1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程中轨道摩擦力对其所做的功Wf；

    (2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h。(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)

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    【题目】质点做匀速圆周运动，在相等的时间内(　　)

    A. 通过的弧长相等

    B. 半径转过的角度相同

    C. 速度的变化相同

    D. 合外力相同

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    A. 3.5 km/s B. 5.0 km/s C. 17.7 km/s D. 35.2 km/s

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    【题目】电风扇的工作原理主要是应用（ ）

    A. 电磁感应现象 B. 电流的磁效应现象

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