Question

1．如图所示，一块质量为M=2kg，长为L=2m的均质木板静止在足够长的水平桌面上，木板的左端静止摆放质量为m=1kg的小木块（可视为质点），M和m之间的为动摩擦因数为μ₁=0.2，M和地面之间的动摩擦因数为μ₂=0.1．t=0s时刻在M上施加一恒定水平拉力F=11N，M、m发生相对滑动，g取10m/s²．求：
（1）F刚作用在木板上时M和m的加速度各是多大；
（2）如果F一直作用在M上，经多少时间，m离开M；
（3）若t=1s末撤去F，再经多少时间，M停止运动．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律分别求出M和m的加速度．
（2）根据位移时间公式，结合两者的位移关系求出运动的时间．
（3）根据速度时间公式求出两者在1s时的速度，撤去F后，M做匀减速运动，m做匀加速直线运动，结合速度时间公式求出两者速度相等的时间以及速度，根据牛顿第二定律求出整体匀减速运动的加速度，结合速度时间公式求出匀减速运动的时间，从而得出总时间．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律，m的加速度为：${a}_{1}=\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g=2m/{s}^{2}$，
M的加速度为：${a}_{2}=\frac{F-{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$=$\frac{11-0.2×10-0.1×30}{2}=3m/{s}^{2}$，
（2）根据$L=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{2}-{a}_{1}}}=\sqrt{\frac{2×2}{3-2}}s=2s$．
（3）t=1s时，小物块的速度为：v₁=a₁t₁=2×1m/s=2m/s，
木板的速度为：v₂=a₂t₁=3×1m/s=3m/s，
然后物块做匀加速直线运动，木板做匀减速运动，木板的加速度为：${a}_{3}=\frac{{μ}_{1}mg+{μ}_{2}（M+m）g}{M}$=$\frac{0.2×10+0.1×30}{2}$=2.5m/s²，
根据v₁+a₁t₂=v₂-a₂t₂得两者速度经历的时间为：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{1}{4.5}s=\frac{2}{9}s$，此时速度为：${v}_{3}=2+2×\frac{2}{9}=\frac{22}{9}m/s$，
然后两者一起做匀减速运动，${a}_{4}={μ}_{2}g=1m/{s}^{2}$，
一起匀减速运动的时间${t}_{3}=\frac{\frac{22}{9}}{1}s=\frac{22}{9}s$，
t′=${t}_{2}+{t}_{3}=\frac{24}{9}s=\frac{8}{3}s$．
答：（1）刚作用在木板上时M和m的加速度各是3m/s²、2m/s²．
（2）如果F一直作用在M上，经2s时间，m离开M；
（3）若t=1s末撤去F，再经$\frac{8}{3}s$时间，M停止运动．

点评 解决本题的关键理清M和m在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，难度中等．