Question

16．如图所示，xOy坐标系内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，x＜0的区域内有匀强电场（图中未画出）．x＞0区域有一半径为R的圆柱形圆筒，圆心O₁的坐标为（2R，0），圆筒轴线与磁场平行，现有范围足够大的平行电子束恰能沿x轴正方向做匀速直线通过x＜0区域，已知电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计电子重力．求：
（1）求x＜0区域内的匀强电场的场强大小为E，则电子速的速度大小为多少？
（2）若圆筒外表面各处都没有电子打到，则电子速度应满足什么条件？
（3）若电子初速度满足v₀=$\frac{3BeR}{m}$，有部分电子能打到圆筒上，则这些电子通过y轴时的坐标范围是多少？圆筒表面有电子打到的区域与没有电子打到的区域的面积之比是多少？

Answer 1

分析 （1）电子y轴左侧做匀速直线运动，说明电场力好洛伦兹力平衡，根据平衡条件列式求解；
（2）电子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹为半圆，临界情况是轨迹与圆筒相切；
（3）找出两个临界轨迹，即射入的电子刚好擦过圆筒，轨迹与圆筒上侧相切，以及与圆筒下侧相切，作出临界图，结合几何关系进行求解，得到圆筒表面有电子打到的区域和圆筒表面没有电子打到的区域的面积之比．

解答 解：（1）由题意知：在x＜0 区域内，平行电子束做匀速直线运动，
由平衡条件得：eE=ev₀B，解得：v₀=$\frac{E}{B}$；
（2）电子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
若没有电子打到圆筒表面，则：r＜R，
解得：v₀＜$\frac{eBR}{m}$；
（3）由牛顿第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$，
已知：v₀=$\frac{3eBR}{m}$，解得：r₁=3R，
大量电子从y轴上不同点进入磁场，轨迹如图所示，
从O上方P点射入的电子刚好擦过圆筒，
OO₂=$\sqrt{（4R）^{2}-（2R）^{2}}$=2$\sqrt{3}$R，OP=OO₂+r=（2$\sqrt{3}$+3）R，
从O点下方Q点射入的电子刚好擦过圆筒，同理可得：OQ=（2$\sqrt{3}$-3）R，
能打到圆筒上的入射电子，通过y轴时的坐标：[-（2$\sqrt{3}$-3）R，（2$\sqrt{3}$+3）R]；
由图可知，圆弧NKM对应的表面为电子打到的区域，对应的角为240⁰，所以
圆筒表面有电子打到的区域和圆筒表面没有电子打到的区域的面积之比：S₁：S₂=2：1；
答：（1）x＜0区域内的匀强电场的场强大小为E，则电子速的速度大小为$\frac{E}{B}$；
（2）若圆筒外表面各处都没有电子打到，则电子速度应满足的条件是：v₀＜$\frac{eBR}{m}$；
（3）这些电子通过y轴时的坐标范围是：：[-（2$\sqrt{3}$-3）R，（2$\sqrt{3}$+3）R]，圆筒表面有电子打到的区域与没有电子打到的区域的面积之比是2：1．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，画出临界轨迹是关键，然后根据洛伦兹力提供向心力列式分析，较难．