Question

6．如图所示，两颗卫围绕着质量为M的中心星体做匀速圆周运动．若两颗卫星和中心星体始终在同一直线上，两颗卫星间的作用及其他星体对两颗卫星的作用均忽略不计，则下列判断正确的是（　　）

• A． 两颗卫星的动能相等
• B． 两颗卫星的轨道半径相等
• C． 两颗卫星的向心力大小相等
• D． 两颗卫星的向心加速度大小相等

Answer 1

分析 两颗卫星和中心星体始终在同一直线上，说明两颗卫星的周期相同，根据万有引力提供向心力，求出加速度、速度与轨道半径的关系，从而通过轨道半径的大小比较出它们的大小．

解答 解：两颗卫星和中心星体始终在同一直线上，说明两颗卫星的周期相同，根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$
周期$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，周期相同，轨道半径相同
A、线速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，两颗卫星的速度大小相等，但两卫星质量未知，所以两颗卫星的动能不一定相等，故A错误；
B、由周期公式知，周期相同则轨道半径半径相同，故B正确；
C、两颗卫星的向心力等于中心天体对卫星的万有引力$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$，因为两卫星质量未知，所以两颗卫星的向心力大小不一定相等，故C错误；
D、向心加速度$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，两颗卫星的轨道半径相同，向心加速度大小相等，故D正确；
故选：BD

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式得直接应用，抓住“两颗卫星和中心星体始终在同一直线上”得知两颗卫星的角速度ω相等求解，特别注意向心加速度是矢量，有方向，难度适中．