Question

15．如图所示，带等量异种电荷的平行金属板MN、PQ水平放置，间距d=5cm，板长L=5cm．虚线NQ右侧足够大的区域内有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面的匀强磁场，电场大小与金属板间的电场大小相等，磁感应强度B=1.57×10³T．一质量为m₁=10g，带电量为q=+1.0×10^-4C的微粒，以v₀=1.0m/s的速度从两金属板正中间沿水平方向射入，恰能从Q点射出．m₁射入的同时，另一质量m₂=1g的不带电微粒，从电磁场区域的某一点S（图中未画出）自由落下，两微粒恰好能发生正碰并结合在一起．取g=10m/s²，π=3.14，$\sqrt{2}$=1.41．求：
（1）m₁在金属板间运动的时间及两金属板间的电势差；
（2）S点距Q点的水平距离；
（3）若两微粒碰撞的瞬间撒去磁场，两微粒碰后运动过程中距Q点的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根据类平抛运动规律和牛顿运动定律列式求解；
（2）根据运动的合成求末速度大小及方向，根据受力分析知粒子在磁场中做匀速圆周运动，发生正碰说明水平速度为零，由几何关系知水平距离；
（3）根据圆周运动规律知碰撞时间，根据时间和自由落体运动的规律知碰撞速度，根据动量守恒定律知m₁与m₂碰后上升的最大高度，由几何关系求与S点的最近距离．

解答 解：（1）由类平抛运动规律得：L=v₀t₁$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}at_1^2$
由牛顿第二定律得：m₁g+qE=m₁a
由电场公式得：$E=\frac{U}{d}$
联立以上各式并代入数据得：t₁=0.05sU=50V
（2）设m₁过Q点的速度大小为v，方向与水平方向的夹角为θ，则有：
$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}$
$tanθ=\frac{v_y}{v_0}$v_y=at₁
m₁进入虚线NQ右则的电磁场区域所受的电场力F=qE=0.1N=m₁g，
因此m₁在电磁场区域做匀速圆周运动，
有：$qBv={m_1}\frac{v^2}{r}$
m₁与m₂要发生正碰，只能在竖直方向，所以S点距Q的水平距离为：X=r+rsinθ
联立以上各式并代入数据得：X=0.15m
（3）由（2）中解得：θ=45°，m₁从Q到碰前的时间为：${t_2}=\frac{3}{8}T$
其中周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{{2π{m_1}}}{qB}$
m₁自由落体的高度为：${h_1}=\frac{1}{2}g{（{t_1}+{t_2}）^2}$
末速度v₂=g（t₁+t₂）
m₁与m₂碰撞过程：m₁v-m₂v₂=（m₁+m₂）v₃
m₁与m₂碰后上升的最大高度：${h_2}=\frac{v_3^2}{2g}$
与S点的最近距离：H=h₁-h₂
联立以上各式并代入数据得：H=0.14m
答：（1）m₁在金属板间运动的时间及两金属板间的电势差为50V；
（2）S点距Q点的水平距离0.15m；
（3）若两微粒碰撞的瞬间撒去磁场，两微粒碰后运动过程中距Q点的最大高度为0.14m．

点评 本题考查分析和处理粒子在复合场中运动的轨迹问题，难点在于分析碰撞时的速度时间关系，此题综合性较强，需要学生熟练掌握各自运动模型和动量定理应用，属于难题．