Question

5．如图所示，在空间内，有一直角坐标系xOy，在第四象限内有一方向沿x轴负方向的匀强电场，直线OP与x轴正方向夹角为30°，第一象限内有两个垂直于纸面的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，OP是他们的理想边界，其中 I区匀强磁场的磁感应强度为B₀，有一质量为m、电荷量为q的质子（不计重力）以初速度v₀从图中A点沿与y轴正方向成60°角射入匀强电场中，经过电场后恰好从Q点垂直x轴进入Ⅰ区磁场，先后经过Ⅰ、Ⅱ两磁场后，以与PO方向成30°角从O点射出．
求（1）II区磁场的磁感应强度B₁大小
（2）质子在磁场中偏转的时间t
（3）电场强度E的大小．

Answer 1

分析 （1）质子在电场中做类似斜抛运动，采用逆向思维，是类似平抛运动的逆过程，根据分速度公式列式；在两个磁场区域均是匀速圆周运动，结合几何关系分析即可；
（2）质子在两个磁场区域均是匀速圆周运动，找出圆心角，结合公式t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解即可；
（3）对在电场力运动过程根据动能定理列式求解即可．

解答 解：（1）由题，质子在电场中运动时，水平方向做匀减速运动，竖直方向匀速直线运动，则到达Q点时，质子的速度：
v=v₀cos60°=$\frac{v_0}{2}$
质子在磁场中做圆周运动时满足：
$Bqv=m\frac{v^2}{R}$
由几何关系，确定质子在两磁场中的圆心位置，如图所示，则设半径分别为R₁、R₂．
满足：R₂=2R₁
得：${B_1}=\frac{B_0}{2}$
（2）由几何关系，质子在 I区磁场中偏转的圆心角为90°，在 II区磁场中偏转的圆心角为60°，
由运动时间与圆心角关系$t=\frac{θm}{qB}$，质子运动的时间为：
$t=\frac{πm}{{2q{B_0}}}+\frac{πm}{{3q{B_1}}}=\frac{7πm}{{6q{B_0}}}$
（3）在电场中运动时，由动能定理，有：
$-qE•OQ=\frac{1}{2}m{（\frac{v_0}{2}）^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
结合几何关系，有：
OQ=R₁+R₂sin60°=$\frac{{（1+\sqrt{3}）m{v_0}}}{{2q{B_0}}}$
解得：$E=\frac{3（\sqrt{3}-1）{B}_{0}{v}_{0}}{8}$
答：（1）II区磁场的磁感应强度B₁大小为$\frac{{B}_{0}}{2}$；
（2）质子在磁场中偏转的时间t为$\frac{7πm}{6q{B}_{0}}$；
（3）电场强度E的大小为$\frac{3（\sqrt{3}-1）{B}_{0}{v}_{0}}{8}$．

点评 带电粒子通过磁场的边界时，如果边界是直线，根据圆的对称性得到，带电粒子入射速度方向与边界的夹角等于出射速度方向与边界的夹角，这在处理有界磁场的问题常常用到．