Question

6．如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环，棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k＞1）．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
（1）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W．
（2）从断开轻绳到棒和环都静止，棒运动的总路程x．

Answer 1

分析 （1）棒第一次与地面碰撞后，速度方向变为向上，环的速度方向向下，二者存在相对运动，相互间存在滑动摩擦力：棒受重力、向下的滑动摩擦力，合力方向向下；环受重力、向上的滑动摩擦力，合力方向向上．所以二者都做匀减速，当棒再次下落时，由于棒的速度小于环的下落速度，所以环的受力情况与之前相同，仍向下做匀减速运动．整个过程中能量的损失都是由于摩擦力对物体做的功，根据能量的守恒可以较简单的求得摩擦力对环及棒做的总功；
（2）棒运动的总路程为原来下降的高度H，加上第一次上升高度的两倍，对棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由运动学公式可以求得上升的高度．

解答 解：（1）设环相对棒滑动距离为l
根据能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl
解得$l=\frac{2H}{K-1}$
摩擦力对棒及环做的总功为：W=-kmgl
联立解得：$W=-\frac{2KmgH}{K-1}$；
（2）棒第一次弹起经过t₁时间，与环达到相同速度v′₁
环的速度：v′₁=-v₁+a_环t₁
棒的速度：v′₁=v₁+a_棒t₁
环的位移：${h_{环1}}=-{v_1}{t_1}+\frac{1}{2}{a_环}t_1^2$
棒的位移：${h_{棒1}}={v_1}{t_1}+\frac{1}{2}{a_棒}t_1^2$
环第一次相对棒的位移为：${x_1}={h_{环1}}-{h_{棒1}}=-\frac{2H}{k}$
棒环一起下落至地：$v_2^2-v_1^{/^2}=2g{h_{棒1}}$
解得：${v_2}=\sqrt{\frac{2gH}{k}}$
同理，环第二次相对棒的位移为${x_2}={h_{环2}}-{h_{棒2}}=-\frac{2H}{k^2}$
…${x_n}=-\frac{2H}{k^n}$
环相对棒的总位移为：x=x₁+x₂+…+x_n
由数学规律可知：
x=$H+\frac{2k}{{{k^2}-1}}H$
答：（1）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W为$\frac{2kmgH}{k-1}$
（2）从断开轻绳到棒和环都静止，棒运动的总路程为$H+\frac{2k}{{{k^2}-1}}H$

点评 本题考查功能关系及力与运动的关系，只要能正确受力分析，结合当速度与加速度方向相同时做加速运动，方向相反时做减速运动即可求解．